Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị

Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia: Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị gửi đến các bạn lí thuyết về bất đẳng thức và cực trị cùng với các bài toán bất đẳng thức và cực trị có trong các đề thi thử năm 2016. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)   a, b  0, thì: a  b  2 a.b . D}́u  xảy ra khi và chỉ khi: a  b.   a, b, c  0, thì: a  b  c  3. 3 a.b.c . D}́u  xảy ra khi v| chỉ khi: a  b  c. 2 3 ab ab abc Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab   a.b    v| a.b.c     2  2   3  Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a b   a, b, x, y  , thì: ( a.x  b.y )2  ( a 2  b2 )( x 2  y 2 ) . D}́u  xảy ra khi và chỉ khi:   x y   a, b, c , x , y , z  , thì: ( a.x  b.y  c.z )2  ( a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) . a b c D}́u  xảy ra khi v| chỉ khi:    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b.y  ( a2  b2 )( x2  y 2 ). Hệ quả. Nếu a, b, c l| c{c số thực v| x , y , z l| c{c số dương thì: a 2 b 2 ( a  b) 2 a 2 b 2 c 2 ( a  b  c )2   v|    : b}́t đẵng thức cộng m}̂u số. x y xy x y z xyz Bất đẳng thức véctơ Xét c{c véctơ: u  ( a; b), v  ( x; y) . Ta luôn có : u  v  u  v  a2  b2  x2  y 2  (a  x)2  (b  y)2 . D}́u  xảy ra khi và chỉ khi u v| v cùng hướng. Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp  x3  y3  ( x  y)3  3xy( x  y).  x2  y 2  z2  ( x  y  z)2  2( xy  yz  zx).  x3  y3  z3  ( x  y  z)3  3( x  y)( y  z)( z  x).  x3  y3  z3  3xyz  (x  y  z) x2  y2  z2  (xy  yz  zx) .  (a  b)(b  c)(c  a)  ab2  bc 2  ca2  (a2 b  b2 c  c 2 a).  ( a  b)(b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc. 2( a3  b3  c 3 )  6abc  ( a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  2( a2  b2  c 2  ab  bc  ca)   abc  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  3(a  b)(b  c)(c  a). 2   2   ( a  b) 2  ( a 2  b 2 )  .( a2  b2 )  .ab  ( a  b)2  ( a  b)2 v| ab   4 2 2 Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại) a.  x; y; z  0  suy ra  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx.VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 1 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 b.  x; y; z  0  suy ra  ( x  y)( y  z)( z  x)  8 xyz. c.  x; y; z   suy ra  3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z)2 . d.  x; y; z  0  suy ra  ( x  y  z)( x 2  y 2  z 2 )  3( x 2 y  y 2 z  z 2 x). e.  x; y; z  0  suy ra  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx). f.  x; y; z  0  suy ra  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  xyz( x  y  z). g.  x; y; z  0  suy ra  ( xy  yz  zx)2  3 xyz( x  y  z). h.  x; y; z   suy ra  3( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  ( xy  yz  zx)2 . 9 i.  x; y; z   suy ra  ( x  y  z)( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z)( z  x). 8 Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng) ...