Tổng hợp các bài toán đại số ôn thi HSG Quôc Gia

Baì 1. Cho trươć số nguyên tô ́ p và số nguyên dương a với 1
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tổng hợp các bài toán đại số ôn thi HSG Quôc Gia Tông hợp cac bai toan đai số ôn thi HSG Quôc Gia ̉ ́ ̀ ́ ̣ ́ Người soan : Vũ Minh Hoang 11A-THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̣ ̀ ̀Bai 1. Cho trước số nguyên tố p và số nguyên dương a với 1 < a ≤ p-1. Giả sử ̀ A= a.Chứng minh răng với moi ước nguyên tố q cua A ta đêu có q-1 chia hêt cho p. ̀ ̣ ̉ ̀ ́Bai 2. Tim số tự nhiên n lớn nhât sao cho số 1995 băng tông cua n số a, a, a..., a ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ̉trong đó cac số a (i=1,2,...,n) đêu là hợp sô. ́ ̀ ́Bai 3. Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thoả man: ̀ ̃ abc=1 và + + = + +Chứng minh răng it nhât môt trong 3 số a,b,c là binh phương cua 1 số hữu ti. ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉Bai 4. Cho day số (b), (n=1,2,...) được xac đinh bởi: b=0; b=14; b=-18 và ̀ ̃ ́ ̣ b = 7b - 6b với moi n ≥ 3. ̣Chứng minh răng với moi số nguyên tố p ta đêu có b chia hêt cho p. ̀ ̣ ̀ ́Bai 5. Giai phương trinh nghiêm nguyên ̀ ̉ ̀ ̣ 4y = 2 + 199 − x − 2 x 2Bai 6. Tim tât cả cac số tự nhiên a để phương trinh ̀ ̀ ́ ́ ̀ x - ax+a+1=0có nghiêm nguyên. ̣Bai 7. Chứng minh răng với moi số tự nhiên n (n ≥ 2) ta đêu có ̀ ̀ ̣ ̀ C.C chia hêt́ cho 4.Bai 8. Tim cac số tự nhiên m,n để A = 3 +4 là số nguyên tô. ̀ ̀ ́ ́Bai 9. Tim cac nghiêm nguyên (x ; n) cua phương trinh ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ 1 1 x + x+ + x+ = n. 2 4 Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀Bai 10. Cho p là số nguyên tô. Chứng minh răng với moi số m nguyên không âm bât ̀ ́ ̀ ̣ ́ki, tôn tai môt đa thức Q có hệ số nguyên sao cho p là ước chung lớn nhât cua tât cả ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̉ ́cac số ́ a = (p+1) +Q với n=1,2,3,...Bai 11. Cho day số nguyên (a), (n=0,l,2,...) thoả man ̀ ̃ ̃ a + a = 2(a + a) với n=1,2,... Chứng tỏ răng tôn tai số nguyên M không phụ thuôc vao n sao cho M+4a.a là số ̀ ̀ ̣ ̣ ̀chinh phương với moi n ∈ N. ́ ̣Bai 12. Cho A có 1997 chữ số trong đó có 1996 chữ số 5 và môt chữ số khac 5. Hoi ̀ ̣ ́ ̉A có thể là số chinh phương hay không? ́Bai 13. Cho day số (a), (n=1,2,...) được xac đinh bởi ̀ ̃ ́ ̣ a = 1, a = 3, a = (n+2)a - (n+1)a ∀ n ≥ 2.Tim tât cả cac giá trị cua n để a là số chinh phương. ̀ ́ ́ ̉ ́Bai 14. Chứng minh răng nêu môt câp số nhân có n số hang (n ≥ 3) là cac số tự ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ́nhiên phân biêt và công bôi cung là môt số tự nhiên thì tông cua tât cả n số hang đó ̣ ̣ ̃ ̣ ̉ ̉ ́ ̣không thể là luỹ thừa cua 5. ̉Bai 15. Giai phương trinh nghiêm nguyên ̀ ̉ ̀ ̣ xy - x - 8y = 2xyBai 16. Xet day số hữu tỉ (a), (n=1,2,...) thoả man ̀ ́ ̃ ̃ a = 3a - 2 ∀ n ≥ 1.Tim tât cả cac số hữu tỉ a để tôn tai cac số m,n phân biêt thoả man a = a. ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ̃Bai 17. Tim cac số nguyên tố x, y thoả man phương trinh ̀ ̀ ́ ̃ ̀ [] + [] + ... + [] = yBai 18. Giả sử x và y là hai số nguyên dương sao cho x + y + 6 chia hêt cho xy. ̀ ́Chứng minh răng là lâp phương cua môt số tự nhiên. ̀ ̣ ̉ ̣Bai 19. Cho cac số không âm x, y, z thoả man x+y+z=1, và n ∈ N. Tim giá trị lớn ̀ ́ ̃ ̀nhât cua biêu thức ́ ̉ ̉ P = xy + yz + zx. Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀Bai 20. Chứng minh bât đăng thức sau với a, b, c là cac số dương ̀ ́ ̉ ́ + + ≥Bai 21. Chứng minh bât đăng thức ̀ ́ ̉ + + ≤Bai 22. Giai hệ phương trinh ̀ ̉ ̀Bai 23. Chứng minh bât đăng thức sau với n ≥ 5: ̀ ́ ̉ 1,71 < 1 + + +...+ < 1,72.Bai 24. Tim tât cả cac đa thức P với cac hệ số thực và thoả man: ̀ ̀ ́ ́ ́ ̃ P = 0, P = P + 1, với moi x ∈ R ̣Bai 25. Cho ham số ϕ : R → R, đăt A = {x ∈ R, ϕ = x}; A = {x ∈ R, ϕ(ϕ) = x} ̀ ̀ ̣Giả sử A\A là môt tâp hợp hữu han v ...