Tứ giác điều hòa

Tứ giác điều hòa đưa vào nội dung giảng dạy các trường Trung học phổ thông chuyên. Để giúp các thầy cô hiểu rõ thêm và tứ giác đặc biệt này, bài viết xin giới thiệu: khái niệm, tính chất và các bài toán áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tứ giác điều hòa Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Nguyễn Bá Đang Hội toán học Hà Nội Tóm tắt nội dung Tứ giác điều hòa đưa vào nội dung giảng dạy các trường Trung học phổ thông chuyên.Để giúp các thầy cô hiểu rõ thêm và tứ giác đặc biệt này xin giới thiệu: khái niệm, tínhchất và các bài toán áp dụng.1 Định nghĩa AB CBĐịnh nghĩa 1. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, đồng thời thỏa mãn điều kiện = AD CDđược gọi là tứ giác điều hòa.Ví dụ 1. Cho đường tròn (O), và điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB và cát tuyếnMCD ( MC < MD ) với đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ADBC là tứ giác điều hòa.Lời giải. MA, MB là tiếp tuyến với đường tròn (O), ADC = MAC ∆MAC và ∆MDA đồng dạng (g,g), tương tự ∆MBC, ∆MDB đồngdạng, MA = MB, suy ra tứ giác ADBC là tứ giác điều hòa.Nhận xét 1. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa khi tiếp tuyến tại A và C và đường thẳngBD đồng quy, hoặc tiếp tuyến tại A và C cùng song với đường thẳng BD. Đây là cáchdựng tứ giác điều hòa đơn giản mỗi khi ta gặp bài toán xuất hiện tứ giác điều hòa. 39 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/20172 Tính chấtTính chất 1. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa thì AC.BD = 2AB × CD = 2BC × AD.Chứng minh. ABCD là tứ giác điều hòa Mặt khác ABCD là tứ giác nội tiếp theo định lýPtolemy AC × BD = 2AB × CD = 2BC × AD.Tính chất 2. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến tại A MD EDvà C cắt nhau tại M, AC cắt BD tại E thì = . MB EB MD S CD sin ∠ DCM ED S AD sin ∠ DAEChứng minh. Ta có = MCD = , = AED = , MB S MCB CB sin ∠ BCM EB S ABE AB sin ∠ BAEABCD nội tiếp đường tròn (O) và MA, MC là tiếp tuyến nên sin ∠ BCM = sin ∠ BAC = AD CDsin ∠ BAE, sin ∠ DCM = sin ∠ DAE, ABCD là tứ giác điều hòa. Suy ra = và AB CBMD ED = . MB EB MD ED Đăt ( MEDB) = = . MB EBTính chất 3. Tứ giác điều hòa ABCD, đường phân giác các góc ∠ BAD, ∠ BCD và đườngthẳng BD đồng quy.Chứng minh. Giả sử đường phân giác góc ∠ BAD cắt BD tại E theo tính chất đường phân giác, suy EB AB AB CB CB BEra = . ABCD là tứ giác điều hòa nên = và = . Suy ra CE là ED AD AD CD CD EDphân giác của góc ∠ BCD, (đpcm).Tính chất 4. ABCD là tứ giác điều hòa, M là giao điểm tiếp tuyến tại A và C, MO cắt ACtại I thì AI là phân giác góc ∠ BID. EB MBChứng minh. AC, BD cắt nhau tại E nên = suy ra I(MEBD) chùm điều hòa, ED MDI M ⊥ AC, IA là phân giác góc ∠ BIC.Tính chất 5. Cho tứ giác ABCD, tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại điểm M thuộc BD thìtiếp tuyến tại B và D gặp nhau trên AC. 40 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017Chứng minh. Với giả thiết đã cho tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa (đpcm). EB AB2Tính chất 6. ABCD là tứ giác điều hòa, AC, BD cắt nhau tại E thì = . ED AD2Tính chất 7. ABCD là tứ giác điều hòa, M là trung điểm AC thì ∠ ADB = ∠ MDC.Chứng minh. Hai tính chất này cho thấy ABCD là tứ giác điều hòa, AD là đường đốitrung của tam giác ABC, do đó ta có ngay đpcm. Đây chỉ là những tính chất cơ bản về Tứ giác điều hòa. 41 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/20173 Ví dụ áp dụngBài toán 1. Cho đường tròn (O) và dây AD, gọi I là điểm đối xứng của A qua D, kẻ tiếptuyến IB với đường tròn (O), từ A dựng tiếp tuyến với (O) cắt IB tại C, CD cắt đường (O)tại E. Chứng minh rằng EB song song với AD.Lời giải. Với giả thiết suy ra CA, CB là tiếp tuyến tứ giác AEBD là tứ giác điều hòa, suy raDA EA DI EA = , mặt khác AD = DI nê ...