Tứ giác ngoại tiếp đường tròn

Tứ giác ngoại tiếp là một chủ đề không quá mới đối với bất kỳ ai đam mê với môn toán và đặc biệt là môn hình học nhưng có không nhiều những tài liệu viết về chủ đề này. Vậy nên trong bài viết này đề cập đến vấn đề này với kiến thức và những ứng dụng cơ bản nhất của tứ giác ngoại tiếp. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tứ giác ngoại tiếp đường tròn TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN Đỗ Xuân Anh (Trường THPT Chuyên KHTN, Hà Nội) Tứ giác ngoại tiếp là một chủ đề không quá mới đối với bất kỳ ai đam mê với môn toán và đặc biệt là môn hình học nhưng có không nhiều những tài liệu viết về chủ đề này. Vậy nên trong bài viết này tôi xin đề cập đến vấn đề này với kiến thức và những ứng dụng cơ bản nhất của tứ giác ngoại tiếp.1. Một số tính chất cơ bản của tứ giác ngoại tiếp đường trònKhi nhắc tới tứ giác ngoại tiếp đường tròn, chúng ta nên để ý đến những tính chất hay sử dụngnhư sau:Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn .I /. .I / tiếp xúc AB, BC , CD, DA lần lượt tại M ,N , P , Q.Đặt AM D AQ D a, BM D BN D b, CN D CP D c, DQ D DP D d .Định lý 1.(Định lý Pithot) AB C CD D BC C DA.Định lý 2. 1. (Định lý Newton) AC , BD, MP , NQ đồng quy tại T AT a BT b 2. D , D : CT c DT d B M A T N Q I P C DChứng minh. Gọi T1 là giao điểm của AC với MP và T2 là giao điểm của AC với NQ. 75 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Ta sẽ chứng minh T1 T2 T . Thật vậy, áp dụng định lí sin, ta có: T1 A AM sin ∠C T1 M sin ∠AMP D T1 C sin ∠AT1 M CP sin ∠CPM AM D CP T2 A aTương tự, D nên T1 , T2 , T trùng nhau. Tính chất được chứng minh. T2 C c AV a BV bĐịnh lý 3. AC , MN , PQ đồng quy tại V và D , D . Từ đó suy ra .AC; T V / D CV c DV d 1. V B M A T N Q I P C D AV aChứng minh. Lấy V trên AC sao cho D . Áp dụng định lí Menelaus cho 4ABC ta có CV cM , N , V thẳng hàng. Tương tự suy ra P , Q, V thẳng hàng. Vậy tính chất trên cũng được chứngminh.Định lý 4. Đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt BI tại X, đường thẳng qua A vuông gócvới AD cắt DI tại Y thì XY vuông góc với AC . B A Y I F X E C D 76Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Chứng minh. Gọi F là hình chiếu của X lên BC ; E là hình chiếu của Y lên CD.Ta có AX 2 XC 2 D AX 2 XF 2 F C 2 D F C 2 . AY 2 Y C 2 D AY 2 YE 2 EC 2 D EC 2 :Mà F C D BC AB D DC AD D EC nên AX 2 XC 2 D AY 2 Y C 2. XA2 C C Y 2 AY 2 CX 2 D XA2 C AC 2 CX 2 .AY 2 C AC 2 C Y 2/ ! ! ! ! D 2AX AC 2AY AC ! ! D 2AC YXDo đó AC ? XY . Vậy ta đã chứng minh xong định lí 4.Ngoài ra, chúng ta cũng nên biết một số công thức tính các yếu tố trong tứ giác ngoại tiếp đườngtròn. Việc chứng minh xin dành cho các bạn đọc.Trong các tính chất dưới đây, ta đặt r là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD và ∠DAB D ˛; ∠ABC D ˇ; ∠BCD D ; ∠CDA D ı: NQ IA:IBĐịnh lý ...