Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Tuyển tập bài giảng môn Giải tích" giới thiệu tới người đọc các nội dung: Tích phân Ricmaiin-Stieltjcs, chuỗi số và tích phân suy rộng, dãy hàm và chuỗi hàm, tích phân phụ thuộc tham số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 2 139 C hương‫ة‬ T ÍC H P H Â N R I E M A N N -S T I E L T J E S Plicp tínli vi tícli pliaii là miic đícli cliíiih của giẳi tícli. Vào c^iối tlic kỷ 17 Ncwtoii và Lcibiiiz sáiig tạo I.a pliốp tíiili tícli pliâii (các ký liiệ ١ĩ d) ‫ ﺭ‬là cila Lcibiiiz). Tny Iiliieii, uăĩii 1821 Caucliy là. ligirời đầu ticn đ ư a ra địiili uglba clìíiili xác a i a tícli pbâii ulur là giới bạii cila tổiig tícli pliâu. vơi địuli iiglila uày luột câu liơi quaii trọug đ ặ t ra là: liàưi sổ uào till có tícli pliâu? Caucliy clil ra rằiig liàiii liCii ti.ic till có tícli pliâp, Iiliưiig cluTiig miuli của Caucliy kliOiig cliặt, cliC (vl tliiCu kliái Iiiệiii liCii tụ c đbu). Nẵiii 1875, D arboux là ugirờĩ đầu tiCii clio clilrug Iiiiiili cliặt cliC. kliằiig địiili trêu. Cuổi th ế kỳ 19 hiciuaiiii (và sau đó là Lcbosguo) đ ư a ra Iiliữiig điều kiộu cầu và đii cila hàm có t.ícli pliâii. N ăm 189‫ ﺩ‬Sticltlcs đ ư a ra kliái Iii‫ ؛‬m m ới cila tícli pliâii khi giầỉ quyct một. sổ bài t.oáii đặc bi‫ ؛‬t. Troiig pliầii uàv cliilug t.ôi trliili bà.v kỹ VC b ầu cliất cila tícli pliâii Ricuiaim -SticltỊcs và các tíiih cliất, cơ b ầu cila tích pliâu uày. Cầu lưu y rằu g ١ cOu có một. sổ kliái Iiiộui t.ícli pliâu kliác, t.i.ơug đó, có 1‫ ة‬, tích pliâi '1 Lcb( ٠sgu (١ (ilo Lcbcsguc đ ư a ra uăm 1902) là loại t.ícli pliâu tổug quát u h ấ t ٠ Vo ĩ)l،irơug diệu liliili học, vấu đề t.íuli tícli p h âu la bài to áu tim cácli tíuli các lirqiig liluli liọc: cliibu dài, diệu tícli, tho tícli. Ý tư ơ u g cliíuli cila dịuli Iiglila tícli pliâu là cliia uliơ (pliâu Iioạcli) rồi cộiig lại (tlurc ra y tư ơ u g uàv dã. có tỈT t.liời Arcliimcdcs, 287-212 triTƠC cOug Iiguyôii, klri ôug tíuli di‫ ؛‬u tícli parabola). Troug t.ícli pliâu Riomauu-Stiolt.los m iề n x á c đ ỉn h cila hàm diĩợc cliia Iiliơ‫ ؛‬còu tro u g tícli pliâu Lcbosguc in iề n g iá tr i cila liàm dirợc cliia uhơ. Dirới đ â ٦r ta sẽ tiOu liàuli xây dirug tícli pliâu Rioniaim -Sticltjos. Sau uàv t.a sò liíic t.ícli pliâu Lobcsgne. Đo t.íuli t.ícli pliâii tliàuh t.liạo, b ạu cầu pliầi t.lmộc các uguvcii liàm cơ 140 bảii và m ột số kỹ th u ậ t như đổi biếu, tích phân từ n g p h ần vân vân. Bạn nên dùng Maplc để tín h tích p h ân b ằn g m áy tính, sau khi n ắm vĩrng lý thuvết của cluĩơng này. Cần clni Ý rằng, không phải tícli phân nào M aplc cũng tính điĩợc m ột cách chính xác. Tuy nhiên, Maplc r ấ t có hiệu hjc khi tín h gần đúng tích phân. 5.1 Đ in h n g h ĩa v à sư tồ n t a i c ủ a tíc h p h â n R ie m a n n -S tie ltje s Ta đ ã gặp câu hỏi : số là gì ? B ây giờ ta hỏi: diện tích của, chằng hạn, hình phằng là gì ? Trong giáo trình toán phổ thông, đổ tính diện tích hình ti.òii ta dùng plnrơng pháp xấp xỉ (trên và dirới) diện tích hình tròn bằng các diện tích của đa giác đều ngoại (hoặc nội tiếp) rồi lấy giói hạn. Đấy là ý tiTỞng chính để định nghĩa diộii tích hình phằng. Tích phân trôn và tích phân diTÓi bắt nguồn từ trực giác hình học này. 5.1 .1 P h â n h o ạ ch G iả sử [a, b] là m ột đoạn hữ u hạn. Phân hoạch p ctiữ [a, 0] là tậ p hữu hạn gồm các điểm ...,Xn ssto cho: ơ. = .r ٥ < .T i < ... < = b. Đổ đơ n giản, t a viết p = {.T.í ...í ٠Ί‫؛‬η}. Ta nói rằn g p h ân hoạch p* là m ịn hơ n phân hoạch p nếu p* D p , tiìrc là, mỗi điổin ciỉa p là đicni cxìa p*. TÌOiig triĩờ n g h ọ p đó, ta viết p P2 . Độ m ịn ciia p hân hoạch p th irờ n g đtrơc tín h bằng số sau; |p | = inax{.Ti — X ị- I : 1 < n }. Dc dàng th ấ y rằng, nếu p . » p th ì \p*\ < |P |. T a ký hiộu V là tậ p tấ t cả các phân hoạch của [a, ٥]. 141 ٠1.2 ‫ ﺓ‬T íc h p liâ n t r ê n v à tíc h p h â n d ١r ớ i Giả sir a là liàni xác dịiili và klioiig giảiíi ti.ôii đoạn đóilg liữn hạn [a.)b]. ư n g với pliản hoạcli p ta đặt Aa?; ‫ت‬ a(.T.;,) - a(٠ Tv,_i). Clio liàin tlnrc / bị chặn tiCn [a, 6]. Các tổng Darboux trCn và dirớĩ iTiig với pliản hoạcli p cha / đirợc xác định nlnr san: ٧ VP٦ í ١a '١ = Y ٠ M ١Ạ a ,,,٦ ? ;! U P , ! , a ١)= I í ' m , i k ١,, ?:=1 tio n g dó M ị : S lip ( ^ ( . T ) : .T ,;_ i < X < X i} , n ií = illf{/(.r) : X - h L < .٣ < ...