TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ

Tài liệu tham khảo chuyên môn toán học, chuyên về bất đẳng thức. Quyển tuyển tập này chắc chắn sẽ không thể thực hiện được nếu không có sự đóng góp của những người bạn của tôi. Họ đã trực tiếp động viên tôi thực hiện, gởi cho tôi những bài toán hay giúp tôi có thể tuyển tập lại một cách tốt nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓTUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓwww.mathvn.comVõ Qu c Bá C nCopyright c 2009 by Vo Quoc Ba Can.All rights reserved. No part of this book may be reproduced or distributed in any form or by anymeans, or stored in data base or a retrieval system, without the prior written the permission of theauthor. www.mathvn.com L i c m ơnQuy n tuy n t p này ch c ch n s không th th c hi n đư c n u không có s đóng góp c a nh ngngư i b n c a tôi. H đã tr c ti p đ ng viên tôi th c hi n, g i cho tôi nh ng bài toán hay giúp tôicó th tuy n t p l i m t cách t t nh t có th các bài toán b t đ ng th c. Xin đư c nêu ra đây nh ngngư i b n thân thi t đã giúp đ tôi r t nhi u trong quá trình th c hi n quy n tuy n t p này 1. Nguy n Văn Dũng - Gi ng viên H c Vi n K Thu t Quân S Hà N i. 2. Tr n Quang Hùng - Cao h c toán trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, ĐHQG Hà N i. 3. Cao Minh Quang - Giáo viên trư ng THPT Chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long. 4. Võ Thành Văn - L p 12 Toán, trư ng THPT Chuyên, ĐHKH Hu . 5. Nguy n M nh Dũng - L p 12 Toán, kh i Ph Thông Chuyên Toán – Tin, trư ng ĐHKHTN, ĐHQH Hà N i. 6. Tr n Anh Tu n - đang c p nh t thông tin. www.mathvn.com Nh ng bài b t đ ng th c t các cu c thi gi i toánBài O1. Gi s a, b, c là các s th c không âm th a mãn a2 + b2 + c2 + abc = 4. Ch ng minh r ng 0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2. (USAMO 2000)L i gi i 1 (V. Q. B. C n). B t đ ng th c bên trái là hi n nhiên, b i vì t gi thi t, ta suy ra có ít nh tm t s trong ba s a, b, c không l n hơn 1. Gi s s đó là c, khi đó ta s có ab + bc + ca − abc = ab(1 − c) + c(a + b) ≥ 0.Bây gi , ta s ch ng minh b t đ ng th c bên ph i. Thay abc = 4 − (a2 + b2 + c2 ) vào, ta có th vi tl i b t đ ng th c này thành a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≤ 6. Ta s dùng phương pháp ph n ch ng đch ng minh b t đ ng th c này. Gi s t n t i m t b s (a, b, c) g m các s h ng không âm sao choa2 + b2 + c2 + abc = 4 và a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca > 6. Khi đó, ta s có √ 6(a2 + b2 + c2 ) 6 6abc 2 2 2 +√ 4 = a + b + c + abc = 6 66 √ 2 + b2 + c2 ) 6(a 6 6abc >2 + , a + b2 + c2 + ab + bc + ca (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)3/2suy ra √ 3 6abc 2 2 2 2(ab + bc + ca) − (a + b + c ) > √ . a2 + b2 + c2 + ab + bc + caM t khác, áp d ng b t đ ng th c Schur b c 4 ( d ng phân th c), ta th y 6abc(a + b + c) 2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) ≤ , a2 + b2 + c2 + ab + bc + canên t trên ta suy ra √ 6abc(a + b + c) 3 6abc >√ . a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca √Đi u này ch ng t r ng abc > 0 và 2(a + b + c) > 3(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca). Đi u này vôlí, b i vì ta luôn có 3(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca) − 2(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ≥ 0.Như v y, không th nào t n t i các s a, b, c th a mãn gi thi t c a đ bài sao cho a2 + b2 + c2 + ab +bc + ca > 6, hay nói m t cách khác, v i m i a, b, c không âm sao cho a2 + b2 + c2 + abc = 4, ta ph icó ab + bc + ca − abc ≤ 2.Bài toán đư c ch ng minh xong. D th y b t đ ng th c bên trái đ t đư c d u b ng khi (a, b, c) là m thoán v c a b s (2, 0, 0); và b t đ ng th c bên ph i đ t đư c d u b ng khi (a, b, c) = (1, 1, 1) ho c √√(a, b, c) là m t hoán v c a b s 2, 2, 0 . ...