Ứng dụng cấp số nhân trong các bài toán thực tế

Chuyên đề cấp số nhân là một trong những chuyên đề có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan cấp số nhân để giải quyết các vấn đề rất gần gũi trong cuộc sống hàng ngày, chẳng hạn: chọn kỳ hạn gửi tiết kiệm, các bài toán về tăng trưởng dân số, dự trù kinh phí cho một công việc. Bài viết trình bày ứng dụng cấp số nhân trong các bài toán thực tế nhằm giới thiệu ứng dụng của chuyên đề này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng cấp số nhân trong các bài toán thực tế ỨNG DỤNG CẤP SỐ NHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Huỳnh Ngọc Diễm 1 1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Chuyên đề cấp số nhân là một trong những chuyên đề có nhiều ứng dụng trong các bài toánthực tế thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan cấp số nhân đểgiải quyết các vấn đề rất gần gũi trong cuộc sống hàng ngày, chẳng hạn: chọn kỳ hạn gửi tiết kiệm,các bài toán về tăng trưởng dân số, dự trù kinh phí cho một công việc, … Bài viết trình bày ứng dụngcấp số nhân trong các bài toán thực tế nhằm giới thiệu ứng dụng của chuyên đề này. Từ khóa: cấp số nhân, dãy số, dãy số thực, ứng dụng của cấp số nhân.1. GIỚI THIỆU Trong Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo (Bộgiáo dục và Đào tạo, 2018) đã nêu rõ đặc điểm của môn học như sau: Toán học ngày càng có nhiềuứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyếtcác vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội pháttriển. Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học đượcToán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa học kiến thức và vậndụng kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Bên cạnh đó, việc tăng cường mối liên hệ giữa toán họcvà thực tế được xem là một trong những định hướng xuyên suốt trong quá trình dạy học môn Toán ởcấp trung học phổ thông, nó giúp cho học sinh có những hiểu biết tương đối về các ngành nghề gắnvới môn Toán và giúp học sinh có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đếntoán học trong suốt cuộc đời. Vì vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toánhọc vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáodục Toán học. Trong chương trình Toán lớp 11, chuyên đề cấp số nhân là một trong những chuyên đề có nhiềuứng dụng trong các bài toán thực tế thuộc lĩnh vực Giáo dục dân số, lĩnh vực tài chính, … Sau khihọc chuyên đề này, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan cấp số nhân để giải quyết các vấnđề rất gần gũi trong cuộc sống hàng ngày, chẳng hạn: giúp gia đình lựa chọn kỳ hạn gửi tiết kiệm saocho thu về tiền lãi cao nhất sau một khoảng thời gian theo dự định, hoặc vận dụng cấp số nhân để giảiquyết các bài toán về tăng trưởng dân số, hoặc vận dụng cấp số nhân để dự trù kinh phí cho một côngviệc mà gia đình/cá nhân dự định làm, … Nội dung bài viết là trình bày ứng dụng cấp số nhân trongcác bài toán thực tế nhằm giới thiệu ứng dụng của chuyên đề này.2. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lý thuyết 2.1.1. Định nghĩa cấp số nhân (Trần Nam Dũng và nnk., 2023) Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi sốhạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, tức là: un+1 = un .q, n  *. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 280 2.1.2. Một số công thức (Trần Nam Dũng và nnk., 2023) * Số hạng tổng quát của cấp số nhân: Giả sử một cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nóđược xác định bởi công thức: un = u1.q n−1, n  2. * Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Giả sử ( un ) là một cấp số nhân có công bội q  1 . Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un , khi đó: Sn = ( u1. 1 − q n ). 1− q 2.2. Ứng dụng cấp số nhân để giải một số bài toán có yếu tố thực tế 2.2.1. Bài toán 1 Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giám thống kê năm 2020) vàtốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,14%. a) Dân số Việt Nam đến năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trămnghìn)? b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số củaViệt Nam sẽ tăng gấp đôi so với năm 2020? Giải. Giả sử dân số của Việt Nam sau mỗi năm là số hạng của dãy số ( un ) với u1 = 97,6 . Ta có: u1 = 97, 6; u2 = u1 + 1,14%u1 = (1 + 1,14% ) u1; u3 = u2 + 1,14%u2 = (1 + 1,14% ) u2 ; u4 = u3 + 1,14%u3 = (1 + 1,14% ) u3 ; ... un = un −1 + 1,14%un −1 = (1 + 1,14% ) un −1. Ta thấy cứ sau mỗi năm dân số của Việt Nam sẽ được nhân thêm một bội số của 1 + 1,14% , dođó dân số của Việt Nam sau mỗi năm tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 97,6 và côngbội q = 1 + 1,14% . a) Dân số của Việt Nam đến năm 2040 là số hạng thứ 21 của cấp số nhân trên, ta có: u21 = (1 + 1,14%) .u1 = (1 + 1,14%) .97,6  122, 4. 20 20 Vậy dân số của Việt Nam đến năm 2040 khoảng 122,4 triệu người. b) Giả sử sau t năm ( t  *) thì dân số của Việt Nam gấp đôi so với dân số năm 2020 với tốcđộ gia tăng dân số là 1,14%/năm. Theo giả thiết, ta có: ut +1 = 2u1  (1 + 1,14%) .97,6 = 2.97,6  (1 + 1,14%) = 2  t  61,1. t t 281 Vì t  * nên t = 62 . Vậy với tốc độ gia tăng dân số là 1,14%/năm, ước tính đến năm 2082 dâ ...