Ứng dụng của định giá trị trung bình trong một số bài toán về giới hạn của dãy số

Các định lý cơ bản về tạo hàm đóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác. Bài viết trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán về giới hạn của hàm số từ định lý giá trị trung bình bằng kỹ thuật tạo dựng các hàm phụ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng của định giá trị trung bình trong một số bài toán về giới hạn của dãy số TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017 31 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG MỘT SỐ B-I TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Nguyễn Văn Hào1, Nguyễn Thị Thanh Hà2, Vũ Thị Ngọc Diệu1 1 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 2 Trường Đại học Công nghiệp Việt Trì Tóm tắt tắt: ắt Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán về giới hạn của hàm số từ ñịnh lý giá trị trung bình bằng kỹ thuật tạo dựng các hàm phụ. Từ khóa: khóa Định lý giá trị trung bình, giới hạn của dãy số, hàm số liên tục, hàm số khả vi. Nhận bài ngày 10.7.2017; gửi phản biện, chỉnh sửa và duyệt ñăng ngày 10.9.2017 Liê n hệ tá c giả : Nguye n Vă n Hà o; Email: nguyenvanhaodhsphn2@gmail.com 1. MỞ ĐẦU Các ñịnh lý cơ bản về ñạo hàm ñóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác. Điều ñó, người ta có thể kể ñến một số vấn ñề như: bài toán tồn tại nghiệm của các phương trình ñại số, ước lượng khoảng chứa nghiệm của các phương trình và toán tử trong việc giải gần ñúng của lý thuyết số, bài toán tìm cực trị của hàm số… Khởi nguồn của các ñịnh lý giá trị trung bình là Định lý Rolle ñược phát biểu như sau: Định lý 1 (Định lý Rolle): Giả sử hàm y = f (x ) liên tục trên ñoạn [a , b ] , khả vi trên khoảng (a , b ) và thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b ) . Khi ñó, tồn tại ít nhất một số c ∈ (a , b ) sao cho f ′(c) = 0 . Theo một khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh của ñịnh lý Lagrange và ñịnh lý Cauchy, chúng ta thấy hai ñịnh lý ñó là hệ quả của ñịnh lý Rolle nhờ việc thiết lập hai hàm phụ cũng thỏa mãn các giả thiết của ñịnh Rolle tương ứng là: f (b) − f (a ) ϕ(x ) = f (x ) − f (a ) − (x − a ) b −a f (b) − f (a ) Và: ϕ(x ) = f (x ) − f (a ) − g(b) − g(a ) (g(x ) − g(a)) . 32 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI Từ việc thiết lập các hàm phụ ñó, ta nhận ñược hai ñịnh lý quan trọng sau: Định lý 2 (Định lý Lagrange): Giả sử hàm số f (x ) hàm liên tục trên ñoạn [a , b ] và khả vi trên khoảng (a , b ) . Khi ñó tồn tại số c ∈ (a , b ) sao cho: f (b) − f (a ) f ′(c) = b −a Hay: f (b) − f (a ) = f ′(c)(b − a ) Định lý 3 (Định lý Cauchy): Giả sử các hàm số f (x ) và g (x ) liên tục trên ñoạn, khả vi trên khoảng (a , b ) và ngoài ra g ′(x ) khác 0 với mọi giá trị của x thuộc khoảng (a , b ). Khi ñó, tồn tại ñiểm c ∈ (a , b ) sao cho: f (b) − f (a ) f ′(x ) = . b −a g ′(x ) Các kết quả này chúng tôi không trình bày cách chứng minh ở ñây, chi tiết có thể thao khảo trong tài liệu [1]. Một cách tổng quan, ta có thể nói rằng hai ñịnh lý Lagrange và ñịnh lý Cauchynhận ñược từ việc kết hợp từ hàm f (x ) (mà ở ñây chúng ta gọi nó là “hàm gốc”) liên tục trên ñoạn [a , b ] và khả vi trên khoảng (a , b ) với những ñiều kiện phụ nào ñó ñể ñược những kết quả mới. Theo ý tưởng ñó, chúng tôi sử dụng một số giới hạn cơ bản một số hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc f (x ) ñể có ñược các bài toán mới về giới hạn của hàm số 2. MỘT SỐ CÁCH XÂY DỰNG BÀI TOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỪ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠO HÀM 2.1. Các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số Để thuận lợi cho việc trình bày kết quả, chúng ta nhắc lại một số giới hạn cơ bản sau: e α(n ) − 1 ln (1 + α(n )) 1. lim = 1. 2. lim =1 α(n )→ 0 α(n ) α(n )→ 0 α(n ) α(n )  a  sin α(n )  3. lim 1 +  = ea . 4. lim =1 α(n )→∞   α(n ) α(n )→ 0 α(n ) tan α(n ) 5. lim = 1. α(n )→ 0 α(n ) TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017 33 2.2. Xây dựng một số bài toán qua việc kết hợp hàm ...