Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong bài toán điều khiển tối ưu

Báo cáo "Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong bài toán điều khiển tối ưu" trình bày một ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland trong lí thuyết điều khiển tối ưu. Cụ thể, nhóm tác giả sẽ thảo luận một mở rộng của nguyên lí cực tiểu Pontryagin cho điều khiển tối ưu xấp xỉ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong bài toán điều khiển tối ưu KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND TRONG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU Nguyễn Thị Tâm, Lớp K60C, Khoa Toán – Tin GVHD: TS. Nguyễn Như Thắng Tóm tắt: Báo cáo trình bày một ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland trong lí thuyết điều khiển tối ưu. Cụ thể, chúng tôi sẽ thảo luận một mở rộng của nguyên lí cực tiểu Pontryagin cho điều khiển tối ưu xấp xỉ. Từ khóa: Phương pháp biến phân Ekerland, nguyên lí cực tiểu Pontryagin, hàm mục tiêu Bolza.I. MỞ ĐẦU Lí thuyết điều khiển tối ưu xuất hiện từ những năm 50 của thế kỉ hai mươi với mộtloạt các công trình tiêu biểu của các nhà toán học Xô Viết. Bài toán điều khiển tối ưu là bàitoán tìm các quá trình tối ưu cho các hệ điều khiển mô tả bởi các phương trình toán học. Nền tảng của lí thuyết điều khiển tối ưu là nguyên lí cực đại (cùng với các các dạngbiến thể) và một loạt các công trình của các nhà toán học Xô Viết đứng đầu là L.C.Pontryagin. Nguyên lí cực đại cổ điển là một biểu thức cực trị toán học mà từ đó ta có thểđoán nhận được điều khiển là tối ưu hay không, tức là cho ta một điều kiện cần của bàitoán điều khiển tối ưu, chi tiết có thể xem trong [5]. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũngtìm được điều kiện cần của bài toán điều khiển tối ưu. Mặt khác, theo nguyên lí cực đại cổđiển dù có tìm ra điều kiện tối ưu thì theo quan điểm kiến thiết, việc xây dựng thuật toán đểtìm các điều kiện tối ưu cũng gặp rất nhiều khó khăn và có thể là không tìm ra cụ thể. Để phần nào giải quyết hai vấn đề đó, trong báo cáo này chúng tôi áp dụng nguyên líEkeland vào bài toán điều khiển tối ưu để mở rộng nguyên lí cực đại Pontryagin chotrường hợp nghiệm tối ưu xấp xỉ, tức là các điều kiện có giá trị ngay cả khi bài toán tối ưuban đầu không có nghiệm chính xác. Vào đầu những năm 70, nhà toán học Ivar I. Ekelandtrong bài báo [1] đã đề xuất nguyên lí biến phân suy rộng, mà ngày nay thường gọi lànguyên lí biến phân Ekeland. Công trình này ngay lập tức nhận được sự quan tâm của cảcộng đồng toán học lí thuyết và ứng dụng, và tính đến nay (4/2014) đã có 1403 lượt tríchdẫn (theo số liệu Google), còn theo cơ sở dữ liệu Hội toán học Mỷ có 473 bài báo khoa họcđã trích dẫn và 57 lượt trích dẫn từ người viết nhận xét. Một trong những điểm thú vị củanguyên lí biến phân Ekeland là một mặt nó mở rộng nguyên lí biến phân cổ điển, nhưngmặt khác nó xây dựng khái niệm lời giải xấp xỉ thích hợp ngay cả khi lời giải chính xáckhông tồn tại. Nội dung chính của báo cáo được trích từ tài liệu [1]. Chúng tôi hi vọng nguyên líbiến phân Ekeland sẽ là công cụ quan trọng chính, là bước khởi đầu để nghiên cứu bài toánđiều khiển tối ưu trong đạo hàm riêng.II. NỘI DUNG1. Kết quả tổng quan Định nghĩa 1.1: Cho X là không gian topo Hausdorff. Hàm số  : X  {+} đượcgọi là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi: 30 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 liminf ( x)  ( x0 ). x  x0 Hàm  được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu  là nửa liên tục tại mọi điểm của X . Định lí 1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland): Cho ( X , d ) là không gian metric đầy và: X  {+} là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Cho   0 và u  X chotrước sao cho:  (u )  inf   . (1.1) X 2 Khi đó, với   0 bất kì, tồn tại u  X sao cho: (u )  (u), (1.2) d (u , u )   , (1.3)  (u )  (u )  d (u, u ), u  u . (1.4)  1 Chứng minh: Để đơn giản hóa kí hiệu ta đặt d (u, v)  d (u, v).  Ta xác định thứ tự bộ phận trên X như sau: u  v  (u)  (v)   d (u, v). Dễ dàng thấy được: (i) Tính phản xạ: u  u (ii) Tính phản đối xứng: u  v và v  u  u  v . (iii) Tính bắc cầu : u  v và v  w  u  w , với mọi u, v,w  X . Bây giờ, ta xây dựng ( Sn ) trong tập con của X như sau: Với u1  u ta có tập:  S1  {u  X:u  u1}; u2  S1 sao cho (u2 )  inf   . S1 22 Bằng phương ...