Ứng dụng phương pháp Đirichlê: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Phương pháp Đirichlê và ứng dụng" trình bày các nội dung: Những ứng dụng khác của nguyên lý Đirichlê, nguyên lý Đirichlê cho diện tích, toán học tổ hợp, một số bài tập hình học khác. Cuối sách có một số đề thi, bài tập tự giải kèm gợi ý để người đọc tự ôn tập và củng cố kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng phương pháp Đirichlê: Phần 2 , , CHUONG 9 , ˜,NG UNG DUNG KHAC CUA NHU ´ , ´ . ´ NGUYÊN LY ÐIRICHLE , ´ ´ ., 9.1. Xâp xı môt sô thuc . , , a . ´ . a . ´ . ¯´ ` . 9.1. Cho x l` môt sô thuc, c`n n l` môt sô tu nhiên. Khi do tôn tai o , , ´ nhung sô nguyên p v` q thoa m˜n 1 ≤ q ≤ n v` ˜ a a a p 1 x− ≤ . (9.1) q nq , , `, u e u ´ Loi giai. Ch´ ng ta x´t nh˜ ng sô kx − [kx ](k = 0, 1, 2, . . . , n). Ch´ ng u , , gô ´ a ` `m n + 1 sô v` nam trong khoang [0, 1]. Ch´ ng ta chia khoang [0, 1] ˘ u , , ˜ , ra n khoang con ba `ng nhau ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n v` dô d`i cua môi khoang ˘ a ¯. a 1 a ` ˘ ` . n`y bang . Theo nguyên l´ Ðirichlê tôn tai hai sô kh´c nhau k v` l y ´ a a n ` , ´ ` nam trong 0, 1, 2, . . . , n, sao cho nh˜ ng sô kx − [kx ] v` lx − [lx ] nam ˘ u a ˘ , , , , trong c` ng môt khoang con thu u . ´ m. Do do khoang c´ch gi˜ a ch´ ng ¯´ a u u 1 , 1 a ´ a không qu´ , tuc l` |kx − [kx ] − (lx − [lx ])| ≤ , hay l` a n n 1 |(k − l ) x − ([kx ] − [lx ])| ≤ . (9.2) n ,, , , ,, , , , ¯´ ´ Boi v` k = l, không anh huong dên kêt qua chung minh ta c´ thê ı ´ o , ,, ´ ` gia thiêt rang k > l. Boi v` ngo`i ra c`n c´ 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n, ˘ ı a o o nên 1 ≤ k − l ≤ n. Ta dat q = k − l v` p = [kx ] − [lx ]. Khi do p v` q ¯˘. a ¯´ a ,, , 90 ˜, ´, Chuong 9. Nhung ung dung kh´c cua nguyên l´ Ðirichle . a y , , , a u ´ l` nh˜ ng sô nguyên v` thoa m˜n 1 ≤ q ≤ n. Voi c´ch dat n`y (9.2) a a ´ a ˘ a . ¯ , ` . 1 , n u¯ ´ dua vê dang |qx − p| ≤ , t` dây chia hai vê cho q ta c´ (9.1). o J , , ´ ., , o . ´ . ` . . o ˜ ` 9.2. V´i moi sô thuc x tôn tai vô han sô tu nhiên q, v´i môi q tôn , , , . ´ ´ ¯˘ ´ tai sô nguyên p, sao cho ch´ng thoa m˜n bât dang thuc. u a p 1 x− ≤ 2. (9.3) q q , , , ´ , r , `, ´ a ´ u Loi giai. Nêu x l` sô h˜ u ty, tuc l` x = voi r l` sô nguyên v` s l` a ´ a ´ a a , s , ´ . , ı ´ . a a a ¯´ sô tu nhiên, th` kêt luân cua b`i to´n l` dung, v` c´ thê dat p = mr ı o ¯˘. ´, ´ , ´ y ´, ´ , , v` q = ms voi sô tu nhiên bât k` m. Voi tât ca c´ch chon p v` q nhu a a a ,, ,. . , ., ¯ . a ı ´ a vây (9.3) duoc thoa m˜n, v` vê tr´i luôn luôn bang không. Nhu vây ` ˘ . , ,, , , , ,, , , e o ...