Ước lượng xác suất đuôi của nghiệm mô hình CIR với nhiễu là chuyển động Brown phân thứ

Mục đích của báo cáo "Ước lượng xác suất đuôi của nghiệm mô hình CIR với nhiễu là chuyển động Brown phân thứ" là sử dụng công cụ của giải tích Malliavin để tìm ra ước lượng xác suất đuôi cho nghiệm của mô hình Cox–Ingersoll–Ross (CIR) với nhiễu là chuyển động Brown phân thứ. Điều khó khăn là hệ số khuếch tán của phương trình không thỏa mãn điều kiện Lipschitz và tăng trưởng tuyến tính nên không thể áp dụng các phương pháp trước đó. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ước lượng xác suất đuôi của nghiệm mô hình CIR với nhiễu là chuyển động Brown phân thứ HỘI NGHỊ TOÀN QUỐC KHOA HỌC TRÁI ĐẤT VÀ TÀI NGUYÊN VỚI PHÁT TRIỂN BỀN VỮNG (ERSD 2022) Ước lượng xác suất đuôi của nghiệm mô hình CIR với nhiễu là chuyển động Brown phân thứ Nguyễn Thu Hằng* Trường Đại học Mỏ - Địa chấtTÓM TẮTMục đích của báo cáo này là sử dụng công cụ của giải tích Malliavin để tìm ra ước lượng xác suất đuôi chonghiệm của mô hình Cox–Ingersoll–Ross (CIR) với nhiễu là chuyển động Brown phân thứ. Điều khó khănlà hệ số khuếch tán của phương trình không thỏa mãn điều kiện Lipschitz và tăng trưởng tuyến tính nênkhông thể áp dụng các phương pháp trước đó. Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi xét một phương trìnhtrung gian, chứng minh sự tồn tại nghiệm và tính khả vi Malliavin, ước lượng xác suất đuôi của nghiệmphương trình trung gian này. Sau đó, thông qua mối quan hệ giữa hai phương trình để tìm ra ước lượng xácsuất đuôi cho mô hình CIR với nhiễu là chuyển động Brown phân thứ.Từ khóa: CIR model, Fractional Brownian motion, Malliavin calculus.1. Đặt vấn đề Mô hình CIR là một trong những mô hình quan trọng trong toán tài chính, mô tả sự biến động của lãisuất. Mô hình được giới thiệu vào năm 1985 bởi John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll và Stephen A. Ross.Mô hình CIR có thể được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên.trong đó: ? ? là lãi suất ở thời điểm ?; ?, ?, ? là các hằng số dương, ? là tốc độ điều chỉnh, ? là lãi suất trung t t X t  X 0   (a  bX s )ds    X t dBs , 0  t  T , (1)bình dài hạn, ? là độ biến động; ? = (? ? ){0≤ ?≤ ?} là chuyển động Brown tiêu chuẩn và ?0 ≥ 0. 0 0 Nghiệm (? ? ){0≤ ?≤ ?} của phương trình (1) là một quá trình Markov không có tính chất nhớ lâu. Tuynhiên, các mô hình tài chính thực thường đặc trưng bởi bộ nhớ (xem trong Anh, V., Inoue, A., 2005). Dođó, chuyển động Brown tiêu chuẩn cần được thay thể bởi quá trình khác phù hợp hơn. Nhiều nghiên cứucho thấy rằng chuyển động Brown phân thứ là lựa chọn tốt. Một số ứng dụng của chuyển động Brown phânrằng, chuyển động Brown phân thứ với chỉ số ? ∈ (0,1) là một quá trình Gauss quy tâm B  ( Bt ) 0  t Tthứ chúng ta có thể tìm thấy trong (B.B. Mandelbrot, J.W. Van Ness, 1968; N.T. Dung, 2013). Nhắc lại H Hvới hàm tương quan: 1 RH (t , s) : E[ BtH BsH ]  (t 2 H  s 2 H  | t  s |2 H ). 2 Với H  2 t có biểu diễn Volterra (H. Sugita, 1985, trang 277-279) 1 , BH t BtH   K (t , s)dWs , 0 trong đó (Wt )t  0 là chuyển động Brown tiêu chuẩn, 1 3 1 H t H H K (t , s ) : cH s 2  (u  s ) 2 u 2 du , s  t , với ? là hàm Beta. s H (2 H  1) và cH  1  (2  2 H , H  ) 2 Trong bài viết này, chúng tôi xét mô hình CIR có dạng sau: t t X t  X 0   (a  bX s )ds    X t dBsH , 0  t  T , (2) 0 0* Tác giả liên hệEmail: nguyenthuhangbmtoan@humg.edu.vn 1172 H trong đó điều kiện ban đầu X 0 và a, b, là các hằng số dương, Bt là chuyển động Brown phân thứ vớichỉ số H  1 2 . Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo đối với Bt được xem như là mở rộng của H ...