Vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân

Tài liệu về vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân www.MATHVN.com VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang)  udv  uv   vdu , nếu Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần  vduta chọn u, v một cách khéo léo thì thành phần sẽ đơn giản và việc tính tích phân sẽđơn giản hơn. Bài viết này trao đổi với các bạn một số kĩ năng khi tính tích phân bằngphương pháp tích phân từng phần. 1. Tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vduThí dụ 1: Tìm nguyên hàm I =  e 2 x (x 2  4x  1)dx Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + 1 thì phải tích phân từng phần 2 lần; để tránh điều này,ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại. du  2xdx    u  x 2  ; nên  vdu=  xe 2 x dx sẽ khử hết xe2x do đó ta thêm vào u :   1 2x dv  e dx v  e    2x   2+ 3x để phần còn lại chỉ còn xe2x.Lời giải. I =  e 2 x (x 2  4x  1)dx   e 2 x (x 2  3x)dx   e 2 x (x  1)dx du  (2x  3)dx  u  x 2  3x  Đặt     , chọn v  1 e 2 x dv  e 2 x dx      2 1 1 e 2 x (x 2  3x)   e 2 x (2x  3)dx   e 2 x (x  3)dxKhi đó: I = 2 2 1 3 1 3 e 2 x (x 2  3x)   e 2 x dx  e 2 x (x 2  3x)  e 2 x  C = 2 2 2 4Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau I   e x (x 3  4x 2  1)dx u  x 3 du  3x 2 dx  Tương tự ví dụ trên  ; nên  vdu=  3x 2 e x dx sẽ khử hết 3x2ex   dv  e x dx v  e x    do đó ta thêm vào u : x2 để phần còn lại còn lại 3x2u  x 3  x 2 du  (3x 2  2x)dx  ;  nên vdu=(3x 2 +2x)e x dx sẽ khử hết 2xex do đó ta lạidv  e x dx v  e x  thêm vào u: -2x để phần còn lại chỉ còn 2x.Lời giải. I   e x (x 3  x 2  2x)dx   e x (3x 2  2x  1)dx 1 www.mathvn.com www.MATHVN.com u  x 3  x 2  2x du  (3x 2  2x  2)dx  Đặt:     , chọn dv  e x dx v  e x    I  e x (x 3  x 2  2x)   e x (3x 2  2x  2)dx   e x (3x 2  2x  1)dx e x (x 3  x 2  2x)   e x dx  e x (x 3  x 2  2x  1)  CTrên cơ sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích phân từng phần của hàm số eax  b (a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1  a 0 )dx an an-1 an-2 a1 hệ số của đa thức _ _ n/a (n-2)/a (n-1)/a x x bn - 3 bn - 1=an bn - 2 hệ số của đa thức của ub n 1  a n k2b k  a k 1  b a k 1(Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống) 1 e (x 5  4x 3  x  1)dx 2xThí dụ 3: Tính I = 0Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u 0 -4 0 1 1 hệ số của đa thức _ 1 3 5 1 n=5, a =2 2 2 ...