Vấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tử sai phân và tích sai phân đối với hàm phân hình trên một trường không Archimedes

Trong bài báo này, các tác giả thảo luận vấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tử sai phân và tích sai phân đối với hàm phân hình trên trường số p-adic.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tử sai phân và tích sai phân đối với hàm phân hình trên một trường không ArchimedesKhoa học Tự nhiênVấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tửsai phân và tích sai phân đối với hàm phân hìnhtrên một trường không ArchimedesPhạm Ngọc Hoa, Nguyễn Xuân Lai*Khoa Toán, Trường Cao đẳng Hải DươngNgày nhận bài 5/2/2018; ngày chuyển phản biện 12/2/2018; ngày nhận phản biện 26/3/2018; ngày chấp nhận đăng 30/3/2018Tóm tắt:Trong bài báo này, các tác giả thảo luận vấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tử sai phân và tích sai phân đối vớihàm phân hình trên trường số p-adic.Từ khóa: Giả thuyết Hayman, hàm phân hình, toán tử sai phân, trường không Archimedes.Chỉ số phân loại: 1.11. Mở đầuPhân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiềunhà toán học trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ vớiđạo hàm của hàm phân hình và ảnh ngược của các điểm riêngrẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu này là Hayman. Năm1967, Hayman [1] đã chứng minh kết quả sau đây:Định lý A. Cho f là hàm phân hình trên C. Nếu f (z) =0 và f (k) (z) = 1 với k là một số nguyên dương nào đó và vớimọi z ∈ C thì f là hằng. Năm 1967, Hayman [1] cũng đưara giả thuyết sau đây:Giả thuyết Hayman. Nếu một hàm nguyên f thỏa mãnf n (z) f (z) = 1 với n là một số nguyên dương nào đó và vớimọi z ∈ C thì f là hằng.Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàmnguyên siêu việt và n > 1, đã được Clunie [2] kiểm tra đốivới n ≥ 1. Các kết quả này và các vấn đề liên quan đã hìnhthành nhánh nghiên cứu được gọi là sự lựa chọn của Hayman.Công trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiêncứu này thuộc về C.C. Yang và X.H. Hua [3]. Năm 1997, haiông đã chứng minh định lý sau đây:Định lý B [3]. Cho f và g là hai hàm phân hình kháchằng, n ≥ 11 là một số nguyên và a ∈ C - {0}. Nếu f n f vàn n+1g g nhận giá trị a CM thì hoặcf = dg với d= 1 hoặcf (z) = c1 ecz và g (z) = c2 e−cz , ở đó c, c1 , c2 là các hằng sốvà thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 .Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướngnghiên cứu này thuộc về J. Ojeda [4]. Năm 2008, J. Ojedađã xét vấn đề nhận giá trị của f + T f n với T là hàm hữu tỷ.Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:Định lý C [4]. Cho f là hàm phân hình trên Cp , n ≥ 2 làmột số nguyên và a ∈ Cp - {0}. Khi đó nếu f n (z) f (z) = avới mọi z ∈ Cp thì f là hằng.Trong những năm gần đây, vấn đề trên được nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đathức sai phân của hàm phân hình và ảnh ngược của cácđiểm riêng rẽ. Năm 2006, Halburd và Korhonen [5] đã thiếtThe problem of value-sharingand uniqueness between the differenceoperator and the differential equationfor the meromorphic functionof a non-Archimedean fieldNgoc Hoa Pham, Xuan Lai Nguyen*Department of Mathematics, Hai Duong CollegeReceived 5 February 2018; accepted 30 March 2018Abstract:In this paper, we discuss the value-sharing anduniqueness problem for difference operators anddifferential multiplications of meromorphic functions ina p-adic field.Keywords: difference operators, Hayman conjecture,meromorphic functions, non-Archimedesn field.Classification number: 1.1*Tác giả liên hệ: Email: laicdhd@gmail.com60(6) 6.201811nghiên cứu này thuộc về J. Ojeda [4]. Năm 2008, J. Ojedađã xét vấn đề nhận giá trị của f + T f n với T là hàm hữu tỷ.Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:Định lý C [4]. Cho f là hàm phân hình trên Cp , n ≥ 2 làKhoaTự nhiênmột sốhọcnguyênvà a ∈ Cp - {0}. Khi đó nếu f n (z) f (z) = avới mọi z ∈ Cp thì f là hằng.Trong những năm gần đây, vấn đề trên được nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đathức sai phân của hàm phân hình và ảnh ngược của cácđiểm riêng rẽ. Năm 2006, Halburd và Korhonen [5] đã thiếtlậptương tựtự củacủa lýlý thuyếtthuyết NevanlinnaNevanlinnachochotoántoántửtửsaisaiphânphânlập tương1củahàmphânhìnhcóbậchữuhạn.Năm2007,I.Lainecủa hàm phân hình có bậc hữu hạn. Năm 2007, I. Laine vàvàC.C. YangYang [6][6] đãđã thiếtthiết lậplập tươngtươngtựtự ĐịnhĐịnhlýlýAAcủacủaHaymanHaymanC.C.cho mộtmột kiểukiểu đađa thứcthức saisaiphânphânđặcđặcbiệtbiệtcủacủahàmhàmnguyênnguyênsiêusiêuchoviệt cócó bậcbậc hữuhữu hạn.hạn. HaiHaiôngôngđãđãchứngchứngminhminhkếtkếtquảquảsausauđây:đây:việtĐịnh lýlý DD [6].[6]. ChoCho ff làlàhàmhàmnguyênnguyênsiêusiêuviệtviệtcócóbậcbậchữuhữuĐịnhhạn trêntrên CC vàvà cc làlà mộtmột sốsố phứcphứckháckhác00, ,nnlàlàmộtmộtsốsốnguyên,nguyên,hạnn≥≥ 22.. KhiKhi đóđó ffnn(z)(z)ff (z(z++c)c)nhậnnhậnaa, ,aa∈∈C,C,vôvôhạnhạnlần.lần.nNăm2009,K. LiuLiu vàvà L.Z.YangL.Z.Yang [7][7]đãđãchứngchứngminhminhđượcđượcNăm 2009, K.kếtquảtươngtựĐịnhlýDchotoántửsaiphâncủahàmkết quả tương tự Định lý D cho toán tử sai phân của hàmnguyên siêusiêu việtviệt cócó bậcbậc hữuhữu hạn,hạn, đãđãchứngchứngminhmin ...