Vấn đề tính tích phân khi giải bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và trong không gian

Bài viết đưa ra cách xây dựng công thức tính tích phân bội với phép đổi biến số thích hợp, tính tích phân mặt bằng cách đưa về tích phân kép dựa vào yếu tố diện tích của mặt, từ đó tính được các tích phân trong công thức nghiệm và do đó giải quyết được bài toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vấn đề tính tích phân khi giải bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và trong không gian VẤN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN KHI GIẢI BÀI TOÁN CÔSI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN Đỗ Thị Hoài Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên Email: hoaidt@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 26/10/2020 Ngày PB đánh giá: 16/11/2020 Ngày duyệt đăng: 19/11/2020 TÓM TẮT: Giải bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng đòi hỏi phải tìm được phương pháp tính các tích phân bội, tích phân mặt có trong công thức nghiệm. Nhưng vấn đề tính các tích phân đó gặp nhiều khó khăn. Bài báo đưa ra cách xây dựng công thức tính tích phân bội với phép đổi biến số thích hợp, tính tích phân mặt bằng cách đưa về tích phân kép dựa vào yếu tố diện tích của mặt, từ đó tính được các tích phân trong công thức nghiệm và do đó giải quyết được bài toán. Từ khóa: Bài toán Côsi, tích phân bội, tích phân mặt, yếu tố diện tích của mặt. INTEGRALITY PROBLEM WHEN SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR WAVE EQUATIONS IN PLANES AND SPACES ABSTRACT: Solving the Cauchy problem for wave equations requires finding methods to calculate the multiple and surface integrals included in the solution formulae. Because calculating these integrals is difficult, the paper deals with formulating multiple integral formulas with appropriate transformations, calculating surface integrals by bringing about the double integral based on the area factor of the surface, so one can calculate the integrals in the solution formulae and thus solve the problem. Keywords: Cauchy problem, multiple integral, surface integral, the area factor of the surface. 1. MỞ ĐẦU phân mặt trong công thức nghiệm, giúp Để giải các bài toán Côsi, bài toán giải quyết bài toán đối với phương trìnhhỗn hợp đối với phương trình đạo hàm đạo hàm riêng được dễ dàng hơn.riêng hầu hết đều phải đưa về tính các 2. BÀI TOÁN CÔSI ĐỐI VỚItích phân xác định, tích phân bội, tích PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNGphân mặt… Tuy nhiên, các công thức TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONGtích phân trong dạng toán này tương đối KHÔNG GIANphức tạp. Hơn nữa, chưa có tài liệu nào 2.1. Bài toán Côsi đối với phươngđưa ra cách giải chi tiết. Việc đưa ra trình truyền sóng trong mặt phẳngphương pháp tính các tích phân bội, tích  2u 2   u  2u  2  a   ; t 2  x 2 y 2  u ( x , y , 0 )   1 ( x , y ); u ( x , y , 0 )   2 ( x , y ). t Trong đó a là vận tốc truyền sóng và là một hằng số,  1  C 3 ( 2 ); 2  C 2 ( 2 ) . Công thức nghiệm của bài toán là công thức Poatxông ([1, tr 252]): TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 83 1   1 ( , )d  d  2 ( , )d  d  u ( x, y , t )      ; 2 a  t K at a t  ( x   )  ( y   ) 2 2 2 2 a t  ( x   )2  ( y   )2 2 2   K attrong đó K at là hình tròn tâm  x, y  , bán kính at . Để giải bài toán Côsi theo công thức Poatxông ta cần tính các tích phân kép tronghình tròn, nhưng hàm dưới dấu tích phân phức tạp, chứa nhiều biến: x, y, t ,  , nên việctính tích phân đòi hỏi đưa ra công thức đổi biến thích hợp. Trong dạng bài này ta sửdụng công thức tích phân suy rộng với phép đổi biến trong tọa độ cực suy rộng. Ví dụ 1. Tìm nghiệm của bài toán Côsi:  2u  2u  2u   ; t 2 x 2 y 2 u t 0  x; ut t 0 ...