Vận dụng định lý giá trị trung bình giải một số bài toán phép tính vi phân và tích phân

Bài viết này trình bày một vài ứng dụng quan trọng của các định lý giá trị trung bình trong việc giải quyết một lớp các bài toán vi phân và tích phân. Việc xây dựng một số bài toán tổng quát cũng như việc ứng dụng định lý giá trị trung bình trong việc giảng dạy toán học ở bậc THPT đã được chỉ ra trong bài báo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vận dụng định lý giá trị trung bình giải một số bài toán phép tính vi phân và tích phânTẠP CHÍ KHOA HỌCKhoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 30 - 38VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNHGIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂNNguyễn Hữu Thận1, Đỗ Văn Lợi241Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa2Trường Đại học Hồng ĐứcTóm tắt: Bài báo này trình bày một vài ứng dụng quan trọng của các định lý giá trị trung bình trong việcgiải quyết một lớp các bài toán vi phân và tích phân. Việc xây dựng một số bài toán tổng quát cũng như việc ứngdụng định lý giá trị trung bình trong việc giảng dạy toán học ở bậc THPT đã được chỉ ra trong bài báo.Từ khóa: Định lý giá trị trung bình, phép tính tích phân, phép tính vi phân.1. Mở đầuTrong giải tích, định lý giá trị trung bình khẳng định rằng: Cho một cung phẳng, trơnnối hai điểm phân biệt, khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến của cung tại điểm nàysong song với đường thẳng nối hai đầu cung.Định lý này được sử dụng đe chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm trên mộtkhoảng xuất phát từ các giả thuyết địa phương về đạo hàm tại các điểm của khoảng đó. Chínhxác hơn, nếu một hàm số liên tục trên khoảng đóng  a; b với a  b và khả vi trên khoảngmở  a; b  thì tồn tại một điểm c   a,b  sao cho:f c f (b)  f (a)baMột trường hợp đặc biệt của định lý này được mô tả lần đầu tiên bởi Parameshvara(1370 - 1460). Định lý giá trị trung bình ở dạng hiện đại của nó được phát biểu sau đóbởi Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Nó là một trong những kết quả quan trọng của phéptính vi phân, cũng như một trong những định lý quan trọng của giải tích toán học và được sửdụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích. Định lý giá trị trung bình có thể được suy ratừ một trường hợp đặc biệt của nó là Định lý Rolle và có thể được sử dụng để chứng minhmột kết quả tổng quát hơn là Định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange). Các định lý về giátrị trung bình có liên quan chặt chẽ với phép tính vi phân và tích phân, một lĩnh vực rất quantrọng trong lịch sử phát triển của toán học.Có thể nói, các bài toán về phép tính vi phân và tích phân không còn quá xa lạ với nhiềusinh viên ngành Toán, nhất là với các bạn yêu thích môn học này. Tuy nhiên, không phải bấtkỳ sinh viên nào cũng có thể giải quyết được một số lượng lớn các bài toán có liên quan đếnphép tinh vi phân và tích phân, bởi lẽ đây là một lớp bài toán khá phong phú và đa dạng. Nó4Ngày nhận bài: 26/5/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 28/7/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017Liên lạc: Đỗ Văn Lợi, e - mail: dovanloi@hdu.edu.vn30đòi hỏi người học cần có một tư duy linh hoạt, biết kết hợp một cách thành thạo giữa các giảthiết cũng như điều kiện trong từng bài toán cụ thể trong khi chưa có một phương pháp tối ưunào để có thể giải được tất cả các bài toán này.Chính vì lý do đó mà nhiều bài toán khó về phép tính vi phân và tích phân thường dànhcho những học sinh, sinh viên khá và giỏi. Các bài toán này thường xuất hiện nhiều trong cáckỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc và đã gây không ít khó khăn cho các bạn sinh viêntham dự bởi lẽ các bài toán đó thường tương đối khó, đòi hỏi thí sinh không những cần phảicó những hướng đi đúng đắn mà còn cần có những cách giải quyết tinh tế và hợp lý trên cơ sởnắm chắc bản chất của các định lý về giá trị trung bình.Bài báo được viết với mục đích khơi dậy niềm đam mê đối với môn toán, cũng nhưmong muốn phần nào có thể giúp các bạn sinh viên ngành toán có một cách nhìn tổng quátkhi giải quyết một bài toán khó, từ đó có thể tìm tòi, xây dựng và đặt ra cho mình được nhữngbài toán khái quát hơn, trừu tượng hơn.2. Một số kiến thức liên quan2.1. Định lý RolleĐịnh lý 1. Nếu f  x  là hàm liên tục trên đoạn  a, b  , có đạo hàm trên khoảng  a, b  vàf  a   f  b  thì tồn tại c   a, b  sao cho f  c   0 .Hệ quả 1: Nếu hàm số f  x  có đạo hàm trên (a;b) và phương trình f  x   0 có nnghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a;b) thì phương trình f  x   0 có ít nhấtn  1 nghiệm trên (a; b).Hệ quả 2: Nếu hàm số f  x  có đạo hàm trên (a;b) và phương trình f  x   0 vônghiệm trên (a;b) thì phương trình f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên (a;b).Hệ quả 3: Nếu f  x  có đạo hàm trên (a;b) và phương trình f  x   0 có nhiều nhất nnghiệm (n là số nguyên dương) trên (a;b) thì phương trình f  x   0 có nhiều nhất n + 1nghiệm trên (a;b).Nhận xét 1.- Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ Định lý Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệmlà nghiệm bội (khi f  x  là đa thức).- Các hệ quả trên gợi ra ý tưởng về việc chứng minh tồn tại nghiệm cũng như xác địnhsố nghiệm của phương trình. Đồng thời, nếu như bằng một cách nào đó tìm được tất cả cácnghiệm của phương trình (có thể do mò mẫm) thì khi đó phương trình đã được giải.- Từ Định lý Rolle cho phép chứng minh Định lý Lagrange. Tổng quát hơn, chỉ cần để ýtới ý nghĩa của đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên củ ...