Về bài bất đẳng thức trong đề thi VMO 2015

Bài viết này trình bày các ý kiến của mình về bài toán cũng như nêu ra các hướng tiếp cận khác nhau để đi đến lời giải. Bên cạnh các phân tích bình luận, cũng sẽ đề xuất một số bài toán với ý tưởng tương tự cho từng hướng tiếp cận để bạn đọc có thể tự rèn luyện thêm. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về bài bất đẳng thức trong đề thi VMO 2015 Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán VỀ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI VMO 2015 Võ Quốc Bá Cẩn (Hà Nội) Tóm tắt Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2015, đề thi ngày thứ nhất có bài toán bất đẳng thức sau: Bài toán 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 3(a2 + b2 + c2 ) > P > (a + b + c)2 , √ √ √
với P = (a+b+c) ab+ bc+ ca +(a−b)2 +(b−c)2 +(c−a)2 . Bài viết này chúng tôi trình bày các ý kiến của mình về bài toán cũng như nêu ra các hướng tiếp cận khác nhau để đi đến lời giải. Bên cạnh các phân tích bình luận, chúng tôi cũng sẽ đề xuất một số bài toán với ý tưởng tương tự cho từng hướng tiếp cận để bạn đọc có thể tự rèn luyện thêm. Ở cuối bài viết, chúng tôi sẽ giới thiệu nguồn gốc, phát biểu và giải bài toán tổng quát của bài VMO nói trên. 1. Nhận xét chung Với ý kiến chủ quan của mình, chúng tôi cho rằng đây là một bài toán khá hợp lý tương xứng với vị trí của nó trong đề thi. Trong thời gian 180 phút, các thí sinh phải làm 4 bài toán với các thể loại: Giải tích, Đại số, Tổ hợp và Hình học. Số lượng câu hỏi khá nhiều nhưng thời gian làm bài lại hạn chế, thế nên các bài toán đầu tiên không thể ra quá khó vì như thế sẽ tạo áp lực cho thí sinh. Bài toán này ở mức độ trung bình, không dễ cũng không khó. Hình thức phát biểu cũng gọn gàng, đơn giản chứ không cồng 57 kềnh phức tạp so với đề VMO năm 2014. Ngoài ra, bài toán này cũng có khá nhiều hướng để tiếp cận chứ không mẹo mực phức tạp như đề thi năm ngoái. Chính vì thế, việc chọn nó làm bài Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán số 2 là khá phù hợp. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là bài toán này thực sự tốt. Ý tưởng của nó không mới nếu không muốn nói là đã khá quen thuộc với các em học sinh. Vì vậy, do quen dạng nên nhiều em “trúng tủ” có thể nhìn vào ngay và giải mà không cần phải nghĩ suy nhiều. Rõ ràng điều này sẽ khiến cho việc đánh giá chất lượng cũng như kết quả sẽ không được khách quan. Sẽ thật tuyệt nếu đề thi là những bài toán với ý tưởng mới mẻ nhưng lại nhẹ nhàng, tinh tế và không mẹo mực. Mong rằng các đề VMO sắp tới sẽ đáp ứng được điều này. 2. Các hướng tiếp cận cho bài toán Vế trái của bất đẳng thức khá đơn giản. Dạng phát biểu của nó với tổng các bình phương gợi cho ta nghĩ đến đồng nhất thức Lagrange – một hằng đẳng thức quen thuộc được dùng để chứng minh bất đẳ ...