Về định lý Vevanlinna Cartan cho đường cong chỉnh hình

Năm 2004, M. Ru đã chứng minh một dạng định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ chỉnh hình giao với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Ông đã giải quyết một giả thuyết của B.Shiffman đặt ra vào năm 1979 về quan hệ số khuyết cho các ánh xạ dạng này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về định lý Vevanlinna Cartan cho đường cong chỉnh hình T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 VỀ ĐNNH LÝ NEVANLINNA - CARTAN CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH Nguyễn Trường Giang (Trường Cao đẳng Công nghệ và Kinh tế công nghiệp) 1. Giới thiệu Năm 2004, M. Ru đã chứng minh một dạng định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ chỉnh hình giao với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Ông đã giải quyết một giả thuyết của B.Shiffman đặt ra vào năm 1979 về quan hệ số khuyết cho các ánh xạ dạng này. Năm 2006 Yan – Chen đã chứng minh: Cho đường cong chỉnh hình f : ℂ → P n (ℂ) không suy biến đại số, Dj, 1 ≤ j ≤ q là các siêu mặt trong P n (ℂ) ở vị trí tổng quát với bậc dj. Với mỗi ε > 0 , tồn tại một số nguyên dương q M sao cho: (q − (n + 1) − ε)Tf (r) ≤ ∑ d −j 1 N fM (r, D j ) + o(Tf (r)), trong đó bất đẳng thức đúng với mọi j =1 r đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn. 2. Kết quả nghiên cứu Trước hết, chúng ta đưa ra các ký hiệu chuNn trong lý thuyết Nevanlinna. Giả sử f : ℂ → P n (ℂ) là một ánh xạ chỉnh hình khác hằng, f = (f0 :…: fn) là dạng rút gọn của f, trong đó f0, …, fn là những hàm nguyên trên ℂ không có không điểm chung và ít nhất một trong chúng khác hằng. Hàm đặc trưng Nevanlinna - Cartan Tf(r) của hàm f được định nghĩa như sau Tf (r) = 1 2π 2π ∫ log f(re iθ ) dθ trong đó f(z) = max { f0 (z) ,..., fn (z) } . 0 Giả sử D là một siêu mặt trong P n (ℂ) có bậc d, gọi Q là đa thức thuần nhất (n + 1) biến, bậc d với các hệ số trong ℂ định nghĩa D. Hàm xấp xỉ của hàm f ứng với siêu mặt D được định nghĩa bởi 1 m f (r, D ) = m f (r, Q ) = 2π 2π ∫ log 0 f (re iθ ) d Q (f )(re iθ ) d θ. Gọi nf(r, D) là số các không điểm của hàm Q  f trong đĩa z < r kể cả bội, n fM (r, D) là số các không điểm của hàm Q  f trong đĩa z < r bội chặn bởi một số nguyên dương M. Hàm đếm được định nghĩa bởi r N f (r, D) = N f (r, Q) = ∫ 0 n f (t, D) − n f (0, D) dt + n f (0, D) log r. t Tương tự, chúng ta có định nghĩa về hàm đếm bị chặn N M f (r, D). Bây giờ, chúng ta định nghĩa thứ tự từ điển cho các bộ m – tuples (i1 ,..., i m ) ∈ ℕ m của các số nguyên. Nghĩa là, (j1 ,..., jm ) > (i1 ,..., i m ) nếu và chỉ nếu tồn tại b ∈ {1,....,m} ta có jl = il với mọi l < b và jb > ib. Với một bộ n-tuples (i) = (i1,…,in) các số nguyên không âm, ta kí hiệu σ ( i) = ∑ i j . Với một số nguyên dương lớn N, ta kí hiệu VN là không gian các đa thức thuần j nhất bậc N trong ℂ[x 0 ,..., x n ] . 148 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 Giả sử g1, …, gn ∈ ℂ[x 0 ,..., x n ] là các đa thức thuần nhất bậc d sao cho chúng định nghĩa một đa tạp con trong P n (ℂ) có số chiều bằng 0. Ta xây dựng một cái lọc của VN như sau: sắp xếp lại theo trật tự từ điển các bộ n-tuples N (i) các số nguyên không âm sao cho σ(i) ≤ . d Định nghĩa không gian W(i) = WN,(i) bởi W(i) = ∑ g1e1 ...g enn VN − dσ (i) . Định lý cơ bản thứ nhất. Giả sử f : ℂ → P n ((e)ℂ≥)(i)là một ánh xạ chỉnh hình và D là một siêu mặt bậc d trong P n (ℂ) . Nếu f (ℂ) ⊄ D thì với mọi số thực r với 0 < r < ∞ ta có m f (r, D) + N f (r, D) = dTf (r) + O(1) trong đó O(1) là một hằng số độc lập với r. Trong [1], Ru đã chứng minh Định lý A. Giả sử f : ℂ → P n (ℂ) là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số và Dj, 1 ≤ j ≤ q , là các siêu mặt trong P n (ℂ) bậc dj tương ứng ở vị trí tổng quát. Khi đó với mỗi ε > 0 , ta có q ∑d j =1 −1 j m f (r, D j ) ≤ (n + 1 + ε )Tf (r) trong đó bất đẳng thức đúng với mọi r > 0 nằm ngoài một tập E có độ đo Lebesgue hữu hạn. Kết quả chính trong bài báo này đưa ra một bị chặn tốt hơn cho vế phải của bất đẳng thức trên thông qua hàm đếm bị chặn. Định lý được phát biểu như sau: Định lý 1. Giả sử f : ℂ → P n (ℂ) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số và Dj, 1 ≤ j ≤ q , là các siêu mặt trong P n (ℂ) bậc dj tương ứng ở vị trí tổng quát. Khi đó với mỗi ε > 0 , tồn tại một số nguyên dương M sao cho q (q − (n + 1) − ε)Tf (r) ≤ ∑ d j−1N fM (r, Dj ) + o(Tf (r)) j =1 trong đó bất đẳng thức đúng với mọi r > 0 nằm ngoài một tập E có độ đo Lebesgue hữu hạn. Để chứng minh Định lý 1, ta cần đến các bổ để sau. Bổ để 1. Tồn tại một đẳng cấu W(i) ≅ VN − d σ (i ) . W(i') (g1 ,..., gn ) ∩ VN − d σ (i ) Bây giờ ta tiếp tục sử dụng bổ đề trên để đánh giá số chiều của không gian thương của hai không gian liên tiếp trong lọc. Ta kí hiệu số chiều đó là δ(i) . Bổ đề 2. Tồn tại một số nguyên dương N0 chỉ phụ thuộc vào g1, …, gn sao cho W δ (i) = dim (i) = d n . W(i') W Với điều kiện d σ(i) < N − N0 . Hơn nữa, với bộ n-tuples (i) đó, dim (i) là bị chặn bởi dim VN0 . W(i') Việc chứng minh hai bổ đề trên ta có thể xem trong [1]. 149 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 Định lý B. ([2]) Giả sử f = (f0 :…: fn): f : ℂ → P n (ℂ) là một ánh xạ chỉnh hình mà ảnh của nó không bị chứa trong bất kỳ một không gian con tuyến tính nào. Giả sử H1, …,Hq là các siêu phẳng phân biệt trong P n (ℂ) . Gọi Lj, 1 ≤ j ≤ q là các dạng tuyến tính định nghĩa H1, …,Hq. Kí hiệ ...