Về hai bài hình trong kỳ thi IMO 2015

Bài viết "Về hai bài hình trong kỳ thi IMO 2015" sẽ giải quyết và đưa ra các ý tưởng mở rộng cùng nhiều ứng dụng cho các đề hình học thi IMO năm 2015. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về hai bài hình trong kỳ thi IMO 2015 VỀ HAI BÀI HÌNH TRONG KỲ THI IMO 2015 Trần Quang Hùng (Trường THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, Hà Nội) Tóm tắt Bài viết giải quyết và đưa ra các ý tưởng mở rộng cùng nhiều ứng dụng cho các đề hình học thi IMO năm 2015.1. Bài hình ngày thứ nhất1.1. Mở đầuĐề thi IMO ngày thứ nhất năm 2015 [1] có bài hình học như sau:Bài toán 1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn .O/ với trực tâm H; đường cao AFvà M là trung điểm BC: Đường tròn đường kính HA cắt .O/ tại Q khác A: Đường tròn đườngkính HQ cắt .O/ tại K khác Q: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác KHQvà KFM tiếp xúc nhau.Lời giải thứ nhất. Vẽ đường kính AE và QR của .O/: L; N lần lượt là trung điểm HR; QA:Dễ thấy Q; H; M; E thẳng hàng. Từ đó suy ra ML k ER k QA và 1 1 ML D ER D QA D NQ; 2 2nên NQML là hình bình hành. Do đó, LN ? QA: Từ đó ta được LA D LQ: Mặt khác,ML k QA nên ML tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp 4LAQ tại L .1/:Mà HA HF D HK HL D HQ HM;nên phép nghịch đảo tâm H phương tích HA HF biến M ! Q; L 7! K; A 7! F; Q 7! M: 109 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 A N Q O R L K H M B F C EDo đó từ .1/ kết hợp với phép nghịch đảo tâm H suy ra đường tròn ngoại tiếp 4KHQ; 4KFMtiếp xúc nhau.Lời giải thứ hai. Gọi AE là đường kính của .O/ và D đối xứng H qua BC thì D nằm trên.O/: Dễ thấy Q; H; M; E thẳng hàng. Gọi tiếp tuyến tại K; H của đường tròn ngoại tiếp tamgiác KHQ cắt nhau tại X:Ta có ∠KXH D 180ı 2∠KHX D 180ı 2∠KQH D 2.90ı ∠KQH / D 2.90ı ∠KAE/ D 2∠AEK D 2∠KDH:Lại có XK D XH; từ đó X là tâm ngoại tiếp tam giác KDH: Do BC là trung trực HD nên Xnằm trên BC: Từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có XK 2 D XH 2 D XF XM: 110Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 A Q O K H M B X F C D EHay XK là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH và KFM hay hai đườngtròn này tiếp xúc nhau tại K.Lời giải thứ ba. Gọi đường thẳng qua M vuông góc với QM cắt KH tại D: A Q L O Z N D K H B F C T MGọi L; Z là trung điểm của HQ; HK thì L; Z nằm trên đường tròn Euler .N / mà M cũngthuộc .N / nên N là trung điểm LD: N cũng là trung điểm OH nên OD k LH ? QA:Từ đó có DQ D DA và HA HF D HQ HM D HK HD: 111 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015Kẻ tiếp tuyến K T của đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH ta có ∠TKF D ∠TKH ∠HKF D ∠KQH ∠HAD D ∠HDM .∠QAD ∠QAH / D ∠HDM ∠QDM C ∠HMF D ∠HMF ∠QDH D ∠HMF ∠HMK D ∠KMF:Do đó K T cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KFM: Bài toán được chứngminh.Nhận xét. Bài toán này là bài toán thứ 3 của ngày thứ nhất, được đánh giá là một bài khó. Tuyvậy một bài toán chứng minh hai đường tròn tiếp xúc mà đã có sẵn tiếp điểm thì mức độ khóchưa cao vì vậy xếp là bài số 3 là hợp lý. Lời giải thứ nhất là một ý tưởng khá tự nhiên khi có haiđường tròn tiếp xúc ta nghĩ tới việc nghịch đảo đề đi chứng minh đường thẳng tiếp xúc đườngtròn để giảm số lượng đường tròn đi. Lời giải n ...