Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Bài viết Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert trình bày những nét chính về hướng nghiên cứu có tính thời sự này, đi tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm địa phương cho bài toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG nghiên cứu có tính thời sự này, đi tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm địa phương cho Cho trước T  0 , ta xét bài toán Cauchy: bài toán (1)-(2). d  dt  u  k *[u  u (0)]  2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU   Au  f  t , u (t )  , t  (0, T ] (1) u (0)  u , (2) Sử dụng lí thuyết phương trình tích phân  0 Volterra, ước lượng tiên nghiệm và nguyên lí  ánh xạ co.với u lấy giá trị trong không gian Hilberttách được H ,   0, k  L1loc (  ) , A là toán tử 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨUtuyến tính trên H và f : (0, T ]  H  H là 1. Kiến thức chuẩn bịhàm phi tuyến, dữ kiện đầu u0  H . d Trong mục này, ta kí hiệu E là không gian Trong vế trái của (1),  k *[u  u (0)] là Banach với chuẩn ||  || . dtđạo hàm theo biến thời gian, được lấy qua 1.1. Tích chập:tích chập k *[u  u (0)] , nghĩa là nó không Định nghĩa 1. Tích chập của hai hàm k vàtính trực tiếp tại một thời điểm cụ thể của  với k  L1 (  ),   L1 (  , E ) là một hàmhàm trạng thái mà cần thông tin từ thời điểm được kí hiệu và xác định như sau:đầu cho đến thời điểm lấy đạo hàm. Do đó, tnó gọi là đạo hàm không địa phương. Phương k  (t )   k (t  s)( s)ds,trình (1) xuất hiện một cách tự nhiên khi mô 0hình hóa nhiều quá trình, chẳng hạn như quá tích phân ở đây hiểu theo nghĩa Bochner.trình truyền nhiệt trong các vật liệu có nhớ; 1.2. Đạo hàm phân thứ Caputo bậc :quá trình thuần nhất hóa dòng một pha trongmôi trường xốp (xem [2] và các tài liệu trích Định nghĩa 3. Cho f  C N [0, T ], E  .dẫn). Trong trường hợp tuyến tính, tính đặt - Đạo hàm bậc   ( N  1; N ) theo nghĩađúng của bài toán cho một vài trường hợp Caputo được xác định bởiriêng đã được quan tâm bởi một số tác giả 1 t ( N   ) 0 C (xem [1] và [2]). Gần đây, trong [3], các tác D0 f (t )  (t  s) N  1 f N ( s)dsgiả đã trình bày những kết quả đặt nền móngcho hướng nghiên cứu hệ tổng quát nói trên - Đạo hàm phân thứ có trọng theo nghĩakhi   0 . Tiếp đó, [5] đã nghiên cứu về tính Caputo được xác định bởi e  t t dNhút trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp C D0 , f (t )   (t  s ) N  1 N  e s f ( s)  dsphương trình (1)-(2) khi   0 và hàm ngoại ( N   ) 0 dslực f chỉ phụ thuộc vào u . Từ đó, tôi đặt Nhận xét:   0 , thì đạo hàm phân thứ cóvấn đề trình bày những nét chính về hướng trọng là đạo hàm phân thứ. 45Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 1.3. P ...