Xấp xỉ diophantine và liên phân số

Trong bài này, giới thiệu một số kết quả cơ bản của lý thuyết xấp xỉ Diophantine trên tập số thực R, cùng với một trong những công cụ mạnh nhất của nó: Liên phân số. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Xấp xỉ diophantine và liên phân số XẤP XỈ DIOPHANTINE VÀ LIÊN PHÂN SỐ Lý Ngọc Tuệ (Đại học South Florida, Mỹ)Trong bài này, chúng tôi giới thiệu một số kết quả cơ bản của lý thuyết xấp xỉ Diophantine trêntập số thực R, cùng với một trong những công cụ mạnh nhất của nó: Liên phân số.1. Xấp xỉ Diophantine là gì?Lý thuyết xấp xỉ Diophantine có thể bắt đầu với câu hỏi/vấn đề cơ bản sau: pCâu hỏi 1.1. Mỗi số vô tỉ x 2 R n Q có thể được xấp xỉ bởi các số hữu tỉ q 2 Q tốt đến thếnào?Vì tập hợp các số hữu tỉ dày đặc trong tập các số thực, ta có được kết luận đầu tiên:Quan sát 1.2. Gọi x 2 R X Q là một số vô tỉ bất kỳ. Với mọi > 0, tồn tại vô số số hữu tỉpq 2 Q sao cho: ˇ ˇ ˇx p ˇ < : ˇ ˇ ˇ qˇVậy ta có thể lượng hóa được độ dày đặc của tập số hữu tỉ trong tập số thực không? Để làm đượcnhư vậy, ta cần phải có cách đo độ phức tạp của các số hữu tỉ, và ước lượng mức độ dày đặc củatập số hữu tỉ theo độ phức tạp ấy. Lưu ý rằng vì ta đo độ dày đặc, nên với mỗi số hữu tỉ pq , độlớn của mẫu số q đóng vai trò quan trọng hơn là tử số p. Vì thế một trong những cách đơn giảnnhất để đo độ phức tạp của phân số pq là giá trị tuyệt đối jqj của mẫu số. Để cho đơn giản, tasẽ giả sử là phân số pq có mẫu số dương q > 0. Vì hai phân số có mẫu số bằng q liên tiếp cáchnhau đúng bằng q1 , ta có được: pQuan sát 1.3. Với mọi số vô tỉ x 2 R X Q, tồn tại vô số số hữu tỉ q 2 Q với q > 0 sao cho: ˇ ˇ ˇx p ˇ < 1 : ˇ ˇ ˇ q ˇ 2q 1Câu hỏi tiếp theo được đặt ra là: hàm số 2q trong Quan sát 1.3 đã là tối ưu chưa? Hay nóimột cách khác, ta có thể xấp xỉ số vô tỉ tốt hơn Quan sát 1.3 được không? Nhà toán học vĩ đạiLeonhard Euler đã trả lời câu hỏi này vào năm 1748 khi ông phát triển lý thuyết về liên phân sốvới định lý sau đây: pĐịnh lý 1.4 (Euler 1748 [3]). Với mọi số vô tỉ x 2 R X Q, tồn tại vô số số hữu tỉ q 2 Q vớiq > 0 sao cho: ˇ ˇ ˇx p ˇ < 1 : ˇ ˇ (1.1) ˇ q ˇ q2 25 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015Lưu ý 1.5. Định lý 1.4 thường được gọi là Định lý Dirichlet theo tên của nhà toán học PeterGustav Lejeune Dirichlet mặc dù ông chứng minh lại kết quả này gần 100 năm sau Euler. Tuynhiên cách chứng minh của Dirichlet vừa đơn giản hơn, vừa giúp mở rộng Định lý 1.4 ra cáckhông gian khác. Chúng ta sẽ quay trở lại với phương pháp của Dirichlet sau.Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ giới thiệu về liên phân số, một trong những công cụ mạnhnhất của lý thuyết xấp xỉ Diophantine trên tập số thực R, và chứng minh Định lý 1.4. Liên phânsố đã được đề cập đến trong số đầu tiên của Epsilon bởi Nguyễn Hùng Sơn [8]. Một số tàiliệu tham khảo khác của phần này: Davenport [1, Chương IV], Hardy & Wright [4, Chương X],Khintchine [6], Niven & Zuckerman [9, Chương 7], và Schmidt [10, Chương I].2. Liên phân số đơn hữu hạn và số hữu tỉMột liên phân số hữu hạn có độ dài .n C 1/ là một biểu thức có dạng: 1 Œa0 I a1 ; :::; an  WD a0 C : 1 a1 C 1 a2 C :: 1 :C anvới một dãy số thực hữu hạn a0 2 R, a1 ; a2 ; :::; an 2 R X f0g.Khi a0 2 Z, a1 ; :::; an 2 N, ta gọi biểu thức dạng như trên là một liên phân số đơn hữu hạn.Tuy trông có vẻ phức tạp, nhưng thật ra liên phân số đơn hữu hạn bắt nguồn từ thuật toán chiasố nguyên Euclid như sau: Xét phân số pq ở dạng tối giản, đặt u0 D p, u1 D p và áp dụng thuậttoán Euclid, ta có được: u 0 D u 1 a0 C u 2 ;1 u2 < u1 u 1 D u 2 a1 C u 3 ;1 u3 < u2 :: : un 1 D un an 1 C unC1 ;1 unC1 < un un D unC1 an uiVới 0 i n, đặt i D uiC1 , ta có được mối quan hệ sau đây: 1 i D ai C với 0 i n 1; và n D an : i C1Thay thế lần lượt vào phân số ban đầu, ta sẽ có: p 1 1 ...