Áp dụng dãy số vào giải các phương trình và bất phương trình hàm

Nội dung chính của bài viết trình bày sử dụng giới hạn trong các bài toán phương trình, bất phương trình hàm, một số bất phương trình hàm được xây dựng trên các tập rời và đưa ra một số bài tập luyện. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Áp dụng dãy số vào giải các phương trình và bất phương trình hàmÁP DỤNG DÃY SỐ VÀO GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM Đỗ Minh Khoa – Võ Quốc Bá Cẩn1. Lời dẫnCác bài toán phương trình hàm và bất phương trình hàm luôn rất thú vị và lôi cuốn đối với ngườilàm toán. Từ một phương trình nào đó, chỉ bằng một vài phép thế đơn giản, ta có thể tìm đượccác tính chất đặc biệt của hàm số được cho hoặc thậm chí là công thức tổng quát của hàm. Tuynhiên, khi đi sâu vào vấn đề này thì việc chỉ dùng phép thế để giải là chưa đủ, đặc biệt là vớicác bài toán bất phương trình hàm. Do vậy, chúng ta cần có những công cụ khác bỗ trợ để tăngcường thêm tính hiệu quả của phương pháp thế. Lúc này, việc sử dụng dãy số và giới hạn mộtcách linh hoạt sẽ giúp con đường đi trở nên sáng sủa và dễ dàng hơn rất nhiều.Nhận thấy vai trò rất lớn của dãy số và giới hạn trong các bài toán phương trình, bất phương trìnhhàm, chúng tôi quyết định thực hiện bài viết này để chia sẻ kinh nghiệm của mình trong cách sửdụng cũng như để được học hỏi và nhận được ý kiến đóng góp từ quý đồng nghiệp gần xa.2. Sử dụng giới hạn trong các bài toán phương trình, bất phương trình hàmDưới đây là một số kỹ thuật sử dụng chặn và kẹp dãy số thường được sử dụng trong giải toán: Trong nhiều trường hợp, ta cần tìm công thức tổng quát của hàm số, khi đó một trong các hướng đi mà ta có thể nghĩ đến là thiết lập một bất đẳng thức dạng: an f .x/ bn ; ở đây .an /; .bn / là hai dãy được chọn sao cho bất đẳng thức trên đúng với mọi n (ứng với mỗi x cố định). Lúc này, nếu lim an D lim bn D L.x/ thì bằng cách chuyển sang giới hạn, ta sẽ tìm được công thức tổng quát của f .x/ là L.x/: Nếu cần suy xét một tính chất nào đó của f .x/; ta có thể thiết lập một bất đẳng thức dạng: A.f / an B.f /; trong đó A.f /; B.f / là hai biểu thức của x và f .x/; còn .an / là dãy được chọn sao cho bất đẳng thức trên đúng với mọi n (ứng với mỗi x cố định). Lúc này, dựa trên sự hội tụ của an ; ta có thể đưa ra nhiều kết luận cho A.f / và B.f /; từ đó suy ra tính chất của f .x/: Trong nhiều trường hợp, ta có thể thay .an / bằng một biểu thức có chứa ẩn y nào đó thay đổi ngoài x cũng được. Lúc này, việc xét giới hạn hàm số theo y có thể cũng sẽ mang lại nhiều tính chất quan trọng để giúp chúng ta hoàn tất lời giải các bài toán. 85 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn: Với mọi x 2 R; ta có f .2x/ D 2f .x/ (2.1)và ˇ ˇ ˇf .x/ x ˇ 1: (2.2)Lời giải. Từ (2.1), bằng cách sử dụng quy nạp, ta chứng minh được f .2n x/ D 2n f .x/với mọi x 2 R và với mọi n 2 N: Bây giờ, ta sẽ chứng minh f .x/ D với mọi x 2 R: Thật vậy,giả sử có x0 2 R sao cho f .x0 / ¤ x0 : Đặt f .x0 / D x0 C với ¤ 0: Khi đó, ta có f .2n x0 / D 2n f .x0 / D 2n x0 C 2n với mọi n 2 N: Suy ra ˇf .2n x0 / 2n x0 ˇ D 2n jj ˇ ˇvới mọi n 2 N: Do (2.2) nên ˇf .2n x0 / 2n x0 j 1: Kết hợp với đẳng thức trên, ta thu được ˇ 2n jj 1với mọi n 2 N: Tuy nhiên, kết quả này không thể nào thỏa mãn với mọi n 2 N: Mâu thuẫn thuđược cho ta kết quả vừa khẳng định ở trên, tức f .x/ D x với mọi x 2 R:Bài toán 2 (VMO, 2013-A). Gọi F là tập hợp tất các hàm số f W RC ! RC thỏa mãn f .3x/ f f .2x/ C xvới mọi x 2 RC : Tìm hằng số A lớn nhất để với mọi f 2 F và với mọi x > 0; ta đều có f .x/ Ax:Lời giải. Từ giả thiết, ta suy ra 2x x f .x/ f f C (2.3) 3 3 2xvới mọi x 2 RC : Do f f > 0 nên ta có 3 x f .x/ > 3 1với mọi x 2 RC : Đặt a1 D : Từ hai bất đẳng thức trên, ta suy ra 3 2a2 ...