Các chuyên đề phương trình hàm

Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Qua một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia và qua một số kì tập huấn hè tại Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm dạy về chuyên đề này...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các chuyên đề phương trình hàm PhÇn thø nhÊt : C¸c Chuyªn §Ò PHƯƠNG TRÌNH HÀM Nguyễn Hoàng Ngải Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Qua một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia và qua một số kì tập huấn hè tại Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm dạy về chuyên đề này và trao đổi với các đồng nghiệp. Phần I: NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI NIÊM CƠ BẢN1. Nguyên lý Archimede Hệ quả: ∀x ∈ ⇒ ∃!k ∈ : k ≤ x < k + 1 . Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x] Vậy : [ x ] ≤ x < [ x ] + 12. Tính trù mật ⇔ ∀x, y ∈ , x < y đều tồn tại a thuộc A sao cho Tập hợp A ⊂ gọi là trù mật trong x Tính chất 2: ⎧a ≤ α , ∀a ∈ A α = sup A ⇔ ⎨ ⎩∀ε > 0, ∃a ∈ A : α − ε < a ⎧a ≥ β , ∀a ∈ A β = infA ⇔ ⎨ ⎩∀ε > 0, ∃a ∈ A : β + ε > a 4. Hàm sơ cấp Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học ( +, - , x, : ), phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản.5. Hàm cộng tính, nhân tính trên một tập hợp Hàm số f(x) được gọi là cộng tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈ D thì x + y ∈ D và f(x + y) = f(x) + f(y). Hàm số f(x) được gọi là nhân tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈ D thì x . y ∈ D và f(x . y) = f(x) . f(y). Nếu với mọi x, y ∈ D mà x+y ∈ D , x – y ∈ D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) cũng gọi là một hàm cộng tính trên D. Hàm f(x) = ( là hàm nhân tính.6. Hàm đơn điệu • Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a, b) nếu : Với mọi x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) • Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a, b) nếu : Với mọi x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Phần II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG Phương pháp 1: Hệ số bất định. Tạp chí toán học trong nhà trường, số 8 – 2004 trang 62 – 66 (bản tiếng Nga) Nguyên tắc chung: Dựa vào điều kiện bài toán, xác định được dạng của f(x), thường là f(x) = ax + b hoặc f(x) = ax2+ bx + c Đồng nhất hệ số để tìm f(x) Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f(x) đều không thỏa mãn điều kiện bài toán. Phương pháp dồn biến → sao cho: Bài 1: Tìm f: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy.( x 2 − y 2 ), ∀x, y ∈ Giải: u+v ⎧ x= ⎧u = x + y ⎪ ⎪ 2 ⇒⎨ Đặt ⎨ ⎩v = x − y ⎪y = u − v ⎪ ⎩ 2 2⇒ vf (u ) − uf (v) = (u 2 − v 2 )uv f (u ) 2 f (v) 2⇒ −u = − v , ∀u, v ≠ 0 u vCho v = 1 ta có: f (u ) f (1) 2 − u2 = − 1 , ∀u ≠ 0 u 1⇒ f (u ) = u 3 + au, ∀u ≠ 0 (a = f(1) – 1)Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do đó f(0) = 0Kết luận f ( x) = x3 + ax, ∀x ∈ ⎛ x −1 ⎞ 1 Bài 2: f ( x − 1) − 3 f ⎜ ⎟ = 1 − 2 x, ∀x ≠ ⎝ 1− 2x ⎠ 2 Giải : x −1 1− y y = y −1 ⇒ x = ⇒ x −1 = Đặt : 1 − 2x 2 y −1 2 y −1 ⎛ 1− y ⎞ −1 1 ⇒f⎜ ⎟ − 3 f ( y − 1) = , ∀y ≠ ⎝ 2 y −1 ⎠ 2 y −1 2 ⎛ x −1 ⎞ −1 1 ⇒f⎜ ⎟ − 3 f ( x − 1) = , ∀x ≠ ⎝ 1− 2x ⎠ 2x −1 2 ⎧ ⎛ x −1 ⎞ 1 ⎪ f ( x − 1) − 3 f ⎜ 1 − 2 x ⎟ = 1 − 2 x, ∀x ≠ 2 ⎪ ⎝ ⎠ ⇒⎨ ⎪⇒ f ⎛ x − 1 ⎞ − 3 f ( x − 1) = −1 , ∀x ≠ 1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 1− 2x ⎠ 2x −1 2 ⎩ 3 ⇒ −8 f ( x − 1) = 1 − 2 x + 1− 2x 1⎛ 3⎞ 1 ⇒ f ( x − 1) = ⎜ −1 + 2 x + ⎟ , ∀x ≠ 2x −1 ⎠ 8⎝ 2 1⎛ 3⎞ 1 ⇒ f ( x) = ⎜ 1 + 2 x + ⎟ , ∀x ≠ 2x +1 ⎠ 8⎝ 2 Ví dụ 1: Đa thức f(x) xác định với ∀x ∈ và thỏa mãn điều kiện: 2 f ( x) + f (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ (1) . Tìm f(x) Giải: Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất : x, 1 – x vế phải là bậc hai x2. Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c Khi đó (1) trở thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ do đó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ Đồng nhất các hệ số, ta thu được: ⎧ 1 ...