Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

phương pháp quy nạp Một phương pháp rất mạnh trong toán học dùng nghiên cứu và chứng minh các giả thiết là nguyên lý quy nạp toán học. Bài viết này giúp bạn đọc làm quen với phương pháp mới...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. Tóm tắt lý thuyết1. Phương pháp quy nạp tóan học Giả sử muốn chứng minh P(n) đúng ∀n N * . Ta thực hiện hai bước sau: N - Bước 1: Chứng minh P(1) đúng - Bước 2: Giả thiết P(k) đúng. Với giả thiết đó, ta chứng minh: P(k+1) đúng Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra P(n) đúng ∀n N * . N2. Dãy số a) Định nghĩa: Dãy số(dãy sồ vô hạn) là một hàm số xác định trên N* - Người ta thường viết dãy số đước các dạng sau: + Dạng khai triển: u1, u2, u3, ..., un, ... với u1 = u(1), u2 = u(2), ... un = u(n), ... + Dạng vắn tắt: (un). Trong đó: u1 là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát + Dãy số hữu hạn: u1, u2, ..., um b) Dãy số tăng – Dãy số giảm - Dãy số (un) tăng nếu u n +1 > u n , ∀, N * - Dãy số (un) giảm nếu u n +1 < u n , ∀, N * n n Dãy số tăng hạy giảm gọi chung là đơn điệu. c) Dãy số bị chặn Dãy số (un) bị chặn �∃ �∀Σ� : n N*, m u n M m, M R - Nếu u n u M thì (un) bị chặn trên - Nếu u n u m thì (un) bị chặn dưới. B. Ví dụ và bài tậpDạng 1. Chứng minh bằng quy nạp1. Chứng minh: n(n + 1)(2n + 1) a) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = , ∀n N * 6 n (n + 1)(n + 2) b) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = , ∀n N * N 32. Chứng minh: ∀n N * N c) 62 n + 3n + 2 + 3n M a) n + 3n + 5n M b) 4n + 15n − 1M 3 2 3 9 113. Chứng minh: ∀n N * N ( n + 1) x nx sin .sin 1.3.5...(2n − 1) 1 2 2 − a) sin x + sin 2x + ... + sin(nx) = b) x 3n + 1 2.4.6...(2n) sin 2 1 1 14. Tính tổng: Sn = + + ... + , ∀n N * N n(n + 1) 1.2 2.3Dạng 2. Xác định một dãy số - Xác định nhờ khai triển các số hạng - Nhờ công thức của số hạng tổng quát - Nhờ công thức truy hồi 3 4 5 6 75. Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1, , ,, , 2+ 2 3+ 3 6 5+ 5 6+ 6 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com �π � 1 n6. Cho dãy số có số hạng tổng quát là: u n = tan � � ∀n N * ,N n 2 �3 � =u1 = 11 , ∀n N *7. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi sau: = N =u n +1 = 10u n − 9n + 1 Tính un theo n.Dạng 3. Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số - Xét hiệu số: u n+1 – un u n +1 - Hoặc xét tỉ số: (nếu các số hạng đều dương) un8. Khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau: ...