Bài 5: Một vài bất đẳng thức quan trọng khác liên quan tới tính giới hạn

Bài 5 "Một vài bất đẳng thức quan trọng khác liên quan tới tính giới hạn" là bài cuối cùng trong loạt các bài về bất đẳng thức, được đề cập với một cách nhìn khác. Nội dung 5 bài có bài tập kèm theo có nhiều bài hay, khó và có cả các bài mang tính thực tiễn tốt. Hy vọng nó sẽ bổ ích cho những ai quan tâm tới lối tiếp cận này với bất đẳng thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 5: Một vài bất đẳng thức quan trọng khác liên quan tới tính giới hạn 1BÀI 5 MỘT VÀI BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG KHÁC LIÊN QUAN TỚI TÍNH GIỚI HẠN 1 1 x p yqBài 1. Chứng minh rằng nếu p>1,   1 , x>0, y>0 thì xy   (1) p q p q  a  1Đáp. Ở bài học 4, trong bài tập 1 ta đã chứng minh được x + ax > (1 - )   nếu >, a>0, x  0.   Trong bđt ở bài 1, đặt  = p, a = py ta sẽ nhận được p p  py  p 1 xp – (py)x  (1 –p)    1  p  y p 1 (2)  p Theo giả thiết ta có 1 1 p 1 p p  1  ,q  , p 1  q p p p 1 qThay giá trị này vào bđt (2), ta được: p q xp - pyx  - y qSau khi chia tất cả các vế của bdt trên đây cho p và chuyển vế các số hạng cần thiết, ta nhận được bđtcần chứng minh.Bài 2. Chứng minh rằng nếu các số a1, a2, . . ., an và b1, b2, . . ., bn là các số dương, còn p & q thỏa mãn điềukiện ở bài tập 1, thì: 1 1  (a1b1 + a2b2 +. . .+ anbn)  (a1p + a2p + . . .+ anp) p b1q  b2q  ...  bn q  q (3)Đáp. Đặt a1p + a2p + . . .+ anp = Ap, b1q + b2q + . . .+ bnq = BqKhi đó bđt (3) thành: 1 1  A  B  p p q q  ABTiếp theo ta đặt a1 = Ac1, a2 = Ac2,. . . , an = Acn ; b1 = Bd1, b2 = Bd2,. . . , bn = Bdn ;Vì Ap = a1p + a2p + . . .+ anp = Apc1p + Apc2 p +. . .+Apcnp = Ap(c1p + c2p +. . . +cnp) nên hiển nhiên c1p + c2p +. . . +cnp = 1Cũng bằng cách đó ta có thể chứng tỏ d1p + d2p + . . .+dnp = 1.Đến đây, sử dụng bđt (1) ta có: 2 p q c d  a1b1 = AB(c1d1)  AB(  1  , 1  p q  p q c d  a2b2 = AB(  2  2  , (*)  p q  ............................, c p d q  anbn = AB  n  n   p q Từ các bđt ở hệ (*) ta suy ra:  c p  c2 p  ...  cn p d1q  d 2q  ...  d n q  a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn  AB  1   =  p q  1 1 = AB     AB (theo cách đặt biến phụ và giả thiết)  p qNhư vậy ta đã chứng minh được vế trái của bđt (3) không vượt quá AB, do vậy cũng không vượt quá vế phảicủa (3). 1 1 q  py  p 1 p 1 p p qTheo bài tập 1, dấu bằng của (2) xảy ra khi và chỉ khi x =   y y , x =y.  p  q q q p p pTương tự như vậy, dấu bằng của mỗi bđt thuộc (*) xảy ra khi và chỉ khi c1 = d1 , c2  d 2 ,..., d nnghĩa là khi c1p = d1q, c2p = d2q, . . ., cnp = dnq. Cuối cùng, sau khi nhân các đẳng thứ trên đây với ApBq, tanhận được: a1 p A p a2 p A p an p A p  ,  ,..., q  q b1q B q b2 q B q bn BT ...