Bài giảng Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Sau đây là bài giảng Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm, mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về đa thức nội suy Lagrange; đa thức nội suy Newton; Spline bậc 3; bài toán xấp xỉ thực nghiệm. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm Chöông 4NOÄI SUY VAØXAÁP XÆ HAØMI. ÑAËT BAØI TOAÙN :Ñeå tính giaù trò cuûa moät haøm lieân tuïc baátkyø, ta coù theå xaáp xæ haøm baèng moät ñathöùc, tính giaù trò cuûa ña thöùc töø ñoù tínhñöôïc giaù trò gaàn ñuùng cuûa haømXeùt haøm y = f(x) cho döôùi daïng baûng soá x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn Caùc giaù trò xk, k = 0, 1, .., n ñöôïc saép theothöù töï taêng daàn goïi laø caùc ñieåm nuùt noäi suy Caùc giaù trò yk = f(xk) laø caùc giaù trò cho tröôùccuûa haøm taïi xkBaøi toaùn : xaây döïng 1 ña thöùc pn(x) baäc ≤nthoaû ñieàu kieän pn(xk) = yk, k=0,1,.. n. Ña thöùcnaøy goïi laø ña thöùc noäi suy cuûa haøm f(x).II. ÑA THÖÙC NOÄI SUY LAGRANGE:Cho haøm y = f(x) vaø baûng soá x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn Ta xaây döïng ña thöùc noäi suy haøm f(x) treân [a,b]=[x0, xn]. Ñaët n  ( x  xi )pn( k ) ( x )  i  0,i  k n  i  0,i  k ( x k  xi ) ( x  x 0 )( x  x1 )...( x  x k 1 )( x  x k 1 )...( x  x n )  ( x k  x 0 )( x k  x1 )...( x k  x k 1 )( x k  x k 1 )...( x k  x n ) Ta coù (k ) 1 ik p ( xi )   n 0 ikÑa thöùc n L n ( x )   pn( k ) ( x ) y k k 0 coù baäc ≤ n vaø thoûa ñieàu kieän Ln(xk) = yk goïi laø ña thöùc noäi suy Lagrange cuûa haøm fVí duï : Cho haøm f vaø baûng soá x 0 1 3 y 1 -1 2Xaây döïng ña thöùc noäi suy Lagrange vaø tínhgaàn ñuùng f(2).Giaûi (0) ( x  1)( x  3) 1 2 n=2 p ( x)  n  ( x  4 x  3) (0  1)(0  3) 3 (1) ( x  0)( x  3) 1 2 p ( x)  n   ( x  3x) (1  0)(1  3) 2 (2) ( x  0)( x  1) 1 2 p ( x)  n  (x  x) (3  0)(3  1) 6Ña thöùc noäi suy Lagrange 1 2 1 2 1 2 7 2 19Ln ( x ) ( x  4 x  3)  ( x  3 x )  ( x  x )  x  x  1 3 2 3 6 6f(2)  Ln(2) = -2/3  Caùch bieåu dieãn khaùc :Ñaët (x) = (x- x0)(x- x1) .... (x- xn) n n  ( x )   ( x  xi ) k 0 i 0 i k ’(xk) = (xk-x0)(xk-x1)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk- xn) (k ) ( x)  pn ( x )   ( xk )( x  xk ) n yk  Ln ( x )   ( x ) k  0  ( x k )( x  xk ) n yk  Ln ( x )   ( x ) vôùi Dk = ’(xk) (x-xk) k  0 DkÑeå tính giaù trò cuûa Ln(x), ta laäp baûng x x0 x1 .... xn x0 x- x0 x0- x1 .... x0- xn D0 x1 x1- x0 x- x1 .... x1- xn D1 tích … .... .... .... .... … doøng xn xn- x0 xn- x1 .... x- xn Dn (x) tích ñöôøng cheùoVí duï : Cho haøm f vaø baûng soá x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gaàn ñuùng f(-6) Ta laäp baûng taïi x = -6 x = -6 -9 -7 -4 -9 3 -2 -5 30 -7 2 1 -3 -6 -4 5 3 -2 -30 -6Vaäy f(-6)  L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6Ví duï : Cho haøm f vaø baûng soá x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Tính gaàn ñuùng f(2) Ta laäp baûng taïi x = 2 x=2 0 1 3 4 0 2 -1 -3 -4 -24 1 1 1 -2 -3 6 3 3 2 -1 -1 6 4 4 3 1 -2 -24 4Vaäy f(2)  L3(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2 TH ñaëc bieät : caùc ñieåm nuùt caùch ñeàuvôùi böôùc h = xk+1 – xk ( x  x0 ) Ñaët q hTa coù xk = xo + kh x-xk = x- xo-kh = (q-k)h xi-xj = (xo+ih)-(xo+jh) = (i-j)h (x)=(x-x0)(x-x1) .... (x-xn)=q(q-1)…(q-n)hn+1 ’(xk) = (xk-x0) ... (xk-xk-1)(xk-xk+1) … (xk-xn) = k.(k-1) … 1.(-1)(-2) … (k-n)hn = (-1)n-k k! (n-k)! hn n yk Ln ( x )   ( x ) k  0  ( x k )( x  x k ) (1)n  k yk n Ln ( x )  q(q  1)...(q  n) k  0 k !(n  k )!(q  k )Ví duï : Cho haøm f vaø baûng soá x 1.1 1.2 1.3 1.4 y 15 18 19 24 Tính gaàn ñuùng f(1.25)giaûi Ta coù n=3 x = 1.25 h = 0.1 q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5 15 18 19 24Ln (1.25)  (1.5)(0.5)(0.5)(1.5)[    ] 3!(1.5) 2!(0.5) 2!(0.5) 3!(1.5)  18.375Vaäy f(1.25)  18.375 Coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá : Giaû söû haøm f(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp n+1 lieân tuïc treân [a,b]. Ñaët ...