Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (Phần 1)

Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (Phần 1) giúp các bạn biết được định nghĩa; tính chất của chuỗi số; điều kiện cần của sự hội tụ; chuỗi không âm; tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy; chuỗi cơ bản; tiêu chuẩn D’Alembert; tiêu chuẩn Cauchy; tiêu chuẩn Rapb; chuỗi đan dấu – tiêu chuẩn Leibnitz; chuỗi có dấu tùy ý;... Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (Phần 1) Chương 5:CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Phần 1: CHUỖI SỐ ĐỊNH NGHĨACho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới Sn = a1 + a2 + L + an , n N{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu: an n =1( Nếu {an} bắt đầu từ a0 thì số hạng đầucủa Sn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát ĐỊNH NGHĨA {Sn} có giới hạn hữu hạn khi n an hội tụ n =1Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ.Đặt: an = lim Sn : tổng chuỗi n =1 n VÍ DỤKhảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có: 11/ n =1 n (n + 1) 1 1 1Tổng riêng: Sn = + +L + 1.2 2.3 n (n + 1) 1 1 1 1 1 = 1− + − +L+ − 2 2 3 n (n + 1) 1 n = 1− 1 (n + 1) 1Vậy chuỗi hội tụ và =1 n =1 n (n + 1) 1 1 1 12/ Sn = 1 + + +L + n =1 n 2 3 n n = n n Vậy chuỗi phân kỳ. n +1 1 1 1 (−1) n +1 13/ Sn = − 2 + 3 − L + (−1) n n =1 2 n 2 2 2n 2 � 1� 1− � − � 1 � 2� 1 = 2 1− � 1� 3 � − � � 2� Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3. TÍNH CHẤT1/ an và an có cùng bản chất (ht/pk) n =1 n=p2/ α an , 0, và an có cùng bản chất n =1 n =1 TÍNH CHẤT 3 / �an = A, �bn = B n =1 n =1 � (α an + β bn ) = α A + β B n =1• Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ• Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ làphân kỳ Điều kiện cần của sự hội tụ Nếu chuỗi an hội tụ thì lim an = 0 n n =1Áp dụng:Nếu lim an 0 ( hoặc không tồn tại ) thì n an không hội tụ.n =1 Ví dụ n1/ n phân kỳ vì n =1 ( −1) n −n n lim an = lim n = −1 0 n n (−1) n −n n + 2� n�3n2 / (−1) � � n =1 �2n − 1 � n �3n + 2 � n an = � � + �2n − 1 � an / 0 chuỗi phân kỳ Ví dụ3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: xn n =1 n n  khi x = 1: lim x = lim 1 = 1 chuỗi pk n n  khi x = – 1: lim x = lim ( −1) n n n n không tồn tại chuỗi pk n khi |x| > 1: lim x = hoặc không tồn tại n chuỗi pk khi |x| < 1: lim x n = 0 n n n k 1 2 n 1− x Sn = x = x + x +L+ x =x k =1 1− x x 1− x x Chuỗi ht và có tổng là 1− x CHUỖI KHÔNG ÂM.Cho an 0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn}là dãy tăng.Vậy {Sn} hội tụ {Sn} bị chận trên.Hay: an hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên.n =1 Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - CauchyCho f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+ ),khi đó f ( x )dx và f (n ) có cùng bản chất 1 n =1 Chứng minhn 2 3 n�1 � 1 � f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx + L + 2 � ...