Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 Chuỗi, cung cấp cho người học những kiến thức như: Chuỗi số và Chuỗi hàm. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 - Võ Duy Minh Chương IV: Chuỗi • Chuỗi số • Chuỗi hàm 51 Chuỗi số •Định nghĩa: +∞ u1 + u2 + … u n + … = ∑ un n =1 được gọi là một chuỗi số +∞ ký hiệu: ∑ u n=1 n +∞ 1 1 1 1 •Ví dụ: 1 + + + … + … = ∑ 2 3 n n =1 n 52 •Định nghĩa tổng của chuỗi n S n = u1 + u2 + … un = ∑ uk n =1 Nếu lim S n = S thì chuỗi đgl hội n →+∞ n→+∞ tụ và có tổng là S Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ và không có tổng 53 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ +∞ Nếu u1 + u2 + … u n + … = ∑ n u n =1 hội tụ thì lim u n = 0 Tương n →+∞ đương Nếu lim u n ≠ 0 thì chuỗi cho phân kỳ n →+∞ +∞ n +1 Ví dụ ∑ phân kỳ n =1 2 n − 3 n +1 1 Vì lim = ≠0 n →+∞ 2n − 3 2 54 Ví dụ +∞ +∞ 1 1 1 1 a) ∑ n =1 un = ∑ n =1 n(n + 1) = + 1.2 2.3 + ... + n(n + 1) + ... 1 1 1 Vì = − n(n + 1) n n + 1 nên n 1 1 1 1 1 Sn = ∑ = + + ... + = 1− k =1 k(k + 1) 1.2 2.3 n(n + 1) n +1  1  S = lim Sn = lim 1 −  = 1 n →+∞ n →+∞  n + 1 Vậy chuỗi cho hội tụ và có tổng là 1 55 Ví dụ +∞ b) ∑ aq n =1 n −1 vôù i a ≠ 0 ( chuỗi số nhân) Chuỗi trên hội tụ nếu q Chuỗi số dương và các tiêu chuẩn hội tụ +∞ • Định nghĩa: ∑đgl u n =1 n chuỗi số dương nếu mọi số hạng của chuỗi đều dương +∞ +∞ Cho ∑u n=1 n và ∑ n v là hai chuỗi số dương n=1 Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho un ≤ v n +∞ +∞ Nếu ∑ vn hội tụ thì ∑u n=1 n hội tụ n=1 +∞ +∞ Nếu ∑phân u kỳ thì n=1 n ∑ vn kỳ phân n=1 57 Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau +∞ 1 1 1 1 n ∑ n =1 3 n3 n Hội tụ 3 n3n ≤ n =  3 3 +∞ 1 1 1 ∑ n =1 3 n Phân kỳ n ≤3 n 58 Tiêu chuẩn so sánh 2 un k = lim n →+ ∞ v n +∞ +∞ Nếu k và =0 ∑hộiv tụ thì n =1 n ∑hộiu tụ n n =1 +∞ +∞ Nếu k và =∞ ∑pkỳ v thì n ∑ pkỳ un n =1 n =1 Nếu k thì > 0hai chuỗi cho có cùng tính chất 59 Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 2n +∞ 2n 3n 2 1 2 ∑ n =1 3n − 1 2 Phân kỳ vì lim n →+∞ 1 − = 3 +∞ 1 ...