Bài giảng Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Bài giảng Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân giới thiệu tới các bạn những nội dung về tính gần đúng đạo hàm (TH bảng chỉ có 2 điểm nút, TH bảng có 3 điểm nút cách đều); tính gần đúng tích phân (công thức hình thang, công thức Sympson).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân Chöông 5 TÍNH GAÀN ÑUÙNG ÑAÏO HAØM VAØ TÍCH PHAÂN I. TÍNH GAÀN ÑUÙNG ÑAÏO HAØM : Cho haøm y = f(x) vaø baûng soá x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn Ñeå tính gaàn ñuùng ñaïo haøm, ta xaáp xæ haøm baèng ña thöùc noäi suy Lagrange Ln(x) Ta coù f / ( x )  L/n ( x ) f / / ( x )  L/n/ ( x ) 1. TH baûng chæ coù 2 ñieåm nuùt : x x0 x1 h = x1- x0 y0 = f(x0) y y0 y1 y1 = f(x1) = f(x0+h) Ña thöùc noäi suy Lagrange ( x  x1 ) ( x  x0 ) Ln ( x )  y0  y1 ( x 0  x1 ) ( x1  x 0 ) ( x  x0 ) ( x  x1 )  y1  y0 h h Do ñoù vôùi moïi x  [x0, x1] ta coù y1  y0 f ( x0  h)  f ( x0 ) f '( x )   h h  Coâng thöùc sai phaân tieán : f ( x 0  h)  f ( x 0 ) f '( x0 )  h  Coâng thöùc sai phaân luøi : y1  y0 f '( x1 )  h Thay x1 baèng x0 f ( x 0 )  f ( x 0  h) f '( x0 )  h  Coâng thöùc sai soá : M2 h  vôù i M2  max | f ( x ) | 2 x[ x0 , x1 ]  Ví duï : Cho haøm f(x) = ln x. Tính Xaáp xæ f’(1.8) vaø sai soá vôùi h = 0.1, 0.01, 0.001 giaûi f (1.8  h)  f (1.8) Ta coù f '(1.8)  h 1 1 f ( x )   2  M2  max | f ( x ) | 2 x 1.8 Sai soá h  2(1.8)2 h f’(1.8)  0.1 0.540672212 0.016 0.01 0.554018037 0.16x10-2 0.001 0.555401292 0.16x10-3 2. TH baûng coù 3 ñieåm nuùt caùch ñeàu : h = x2 - x1 = x1 - x0 x x0 x1 x2 y0 = f(x0) y y0 y1 y2 y1 = f(x1) = f(x0+h) y2 = f(x2) = f(x0+2h) Ña thöùc noäi suy Lagrange ( x  x1 )(x  x2 ) (x  x0 )( x  x2 ) (x  x0 )( x  x1 ) Ln (x)  y0  y1  y2 (x0  x1 )(x0  x2 ) ( x1  x0 )( x1  x2 ) (x2  x0 )( x2  x1) (x  x0 )( x  x1 ) ( x  x0 )(x  x2 ) (x  x1)( x  x2 )  2 y2  2 y1  2 y0 2h h 2h Do ñoù vôùi moïi x  [x0, x2] ta coù ( x  x0 ) ( x  x1 ) ( x  x2 ) f '( x )  2 ( y2  2 y1 )  2 ( y2  y0 )  2 ( y0  2 y1 ) 2h 2h 2h ( y2  2 y1  y0 ) f ( x )  h2 Suy ra ñaïo haøm caáp 1 (  3 y 0  4 y1  y 2 ) f '( x 0 )  2h ( y2  y0 ) f '( x 1 )  2h ( y 0  4 y1  3 y 2 ) f '( x 2 )  2h Coâng thöùc thöù 1 goïi laø coâng thöùc sai phaân tieán 3 f ( x0 )  4 f ( x0  h)  f ( x0  2h) f '( x 0 )  2h Coâng thöùc thöù 2 goïi laø coâng thöùc sai phaân höôùng taâm thöôøng vieát döôùi daïng (thay x1 = x0) f (x0  h)  f (x0  h) f '( x 0 )  2h Coâng thöùc thöù 3 goïi laø coâng thöùc sai phaân luøi thöôøng vieát döôùi daïng (thay x2 = x0) f (x0  2h)  4 f (x0  h)  3 f (x0 ) f '( x 0 )  2h  Coâng thöùc sai soá : M3 h 2  vôù i M3  max | f '( x ) | 6 x[ x0 , x2 ] ñaïo haøm caáp 2 ( y 2  2 y1  y 0 ) f ''( x 1 )  h2 Thay x1 = x0 ta ñöôïc f (x0  h)  2 f (x0 )  f (x0  h) f ''( x 0 )  ...