Bài giảng Cơ lượng tử

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Các vector riêng, biến đổi tuyến tính, không gian hàm số, hàm cơ sở lượng giác, toán tử Hermitian,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ lượng tử HintSử dụng phương trình 1.32 ta tìm các trị riêng (2 ) 0 2 2i (i ) 2i 0 (1.33) 1 0 ( 1 ) 3 2 (1 i) i 0 1 0 i PhD. D.H.Đẩu 1 Các vector riêngSử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm cácvector riêng 2 0 2 a1 a1 a1 1 2i i 2i . a 2 1. a 2 a2 1 0 1 a3 a3 a3 2a 1 2a 3 a1 a3 a1 / 2 if a1 2 2ia 1 ia 2 2ia 3 a2 a2 (1 i)a 1 / 2 (1 i) a1 a 3 a 3 1 PhD. D.H.Đẩu 2 Các vector riêngSử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm cácvector riêng với trị riêng bằng i (còn lại tự giải) 2 0 2 a1 a1 ia 1 i 2i i 2i . a 2 i. a 2 ia 2 1 0 1 a3 a3 ia 3 2a1 2a 3 ia 1 if a2 1 2ia 1 ia 2 2ia 3 ia 2 a3 0 a 1 a 3 ia 3 a1 0 PhD. D.H.Đẩu 3 BÀI TẬP 19 phép quay Xét matrix 2x2x biểu diễn phép quay của mp oxy (quay quanh oz) có dạng: cos sin sin cosChứng tỏ rằng matrix này có trị riêng là ảo trừmột số góc đặc biệt.Tìm các góc này?Xây dựng matrix phép quay trong không gian 3chiều PhD. D.H.Đẩu 4 Bài tập 20• Tìm trị riêng và vector riêng của matrix biểu diễn phép biến đổi: 1 1 MXT 0 1 Matrix này có thể chuẩn hóa đơn vị theo đường chéo không? PhD. D.H.Đẩu 5 Phép biến đổi Hermitian T Biến đổi tuyến tính Phép biến đổinày tác động lên phần tử đầu của mộttíchtrongthìnóbằngvớikhitácdụngnólên phầntửsaucủatíchtrong ~ * MXT (MXT) T T (1.35)Lưuý:trongcáchxácđịnhnàytacótíchtrongcủa2vectorVếtrái1.35làtíchtrongcủavectortạobởiMXTnhânvectoranphatíchtrongvớivectorbetaVếphải1.35làtíchtrongc ủavectortạobởianpha6 PhD. D.H.ĐẩunhânvớiMXTvàvectoranpha CáctínhchấttrịriênghàmriêngcủaTTrị riêng là thực (Chứng minh) giả sử Khiđótacó: Tˆ and 0 Tˆ NhưngvìTlàHermitiannên: Tˆ Tˆ * (1.36) Vìvectoranphakháckhông:từ2pTtrênchota: * : real PhD. D.H.Đẩu 7 Các vector riêng của biến đổi Hermitian ứng trị riêng khác nhau là trực giao• Chứng minh: Giả sử Tˆ and Tˆ b b • Khi đó ta có: Tˆ b b • Vì T là Hermitian: Tˆ Tˆ * • Theo tính chất trị riêng * and b • (tích trong 2 vector =0) 0 PhD. D.H.Đẩu 8 Các vector riêng của biến đổi Hermitian tạo ra không gian vector cơ sở• Nếu biến đổi Hermitian có n vector riêng ứng với n các trị riêng khác nhau, theo hệ thức 2: các vector riêng đó là trực giao nhau vì thế• Chúng tạo thành hệ vector cơ sở Giả sử có suy biến: tức là một trị riêng , có nhiều (m) vector riêng khác nhau: khi đó bất kỳ một tổ hợp tuyến tính của m vector riêng nói trên đều là các vector riêng với cùng trị riêng là Kết luận: PhD. D.H.Đẩu 9 Bài tập 21 W• Cho biến đổi T 11 i 1 i 01- Chứng minh rằng T là hermitian• 2- Tìm các trị riêng thực của T• 3- Tìm các vector riêng và chứng minh các vector riêng ứng với các trị riêng trên là trực giao• Kiểm tra định thức của T và của tr(T) là như nhau. ...