Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng - Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng (Phần 1)

Phần 2 giáo trình trình bày về quá trình dừng. Nội dung phần này trình bày các khái niệm cơ bản, định nghĩa và tính chất, các ví dụ, biểu diễn phổ, biến đổi tuyến tính quá trình dừng,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng - Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng (Phần 1) 47 Chương 2 QUÁ TRÌNH DỪNG Mỏr đ ầ u . Trong phần ì Xích Markov và ứng dụng ta đã nghiên cứusự tiến triển theo thời gian của một hệ ngẫu nhiên mà trong đó tương lai chỉphụ thuộc hiện tại và độc lập với quá khứ. Tuy nhiên, trong thực t ế đặc biệtlà trong các lĩnh vực kinh tế, thợ trường chứng khoán, cơ học thống kê, khítượng thủy văn ... ta thường gặp các hệ ngẫu nhiên mà quá khứ của nó cóảnh hường rất mạnh đến sự tiến triển của quá trình trong tương lai. Khi làmdự báo cho các quá trình như thế, ta cần phải tính đến không chỉ hiện t ạ i màcả quá khứ nữa. Mô hình xác suất đề nghiên cứu các quá trình này là quátrình dừng. Khái niệm quá trình dừng do nhà toán học người Nga Khinchin(1894-1959) đ ư a ra lần đầu tiên vào năm 1934. Ngày nay, quá trình dừng đ ãtrờ thành một trong những lĩnh vực quan trọng và có rất nhiều ứng dụng củalý thuyết xác suất. 2.1. Các khái niệm cơ bán 2.1.1 Đinh nghỉã và tính chất Đinh nghiã 1. Giả sử X(t),t € M. là một quá trình cấp 2. X{i) được gọi là một quá trình dùng nếu hàm trung bình m(t) là hằngsố (không phụ thuộc vào t) và hàm tự tương quan r(s,t) chỉ phụ thuộc vàos-t . Như vậy X(t) , t € T là quá trình dừng khi và chỉ khi: a) m(t) = m = const . b) Tồn t ạ i hàm K(t) sao cho r{s,t) = K(s - í) , Vs,í e R .48 Nói cách k h á c ( h o à n t o à n t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i định nghiã t r ê n ) , q u á t r ì n hx(t) , í E M là q u á t r ì n h dừng nếu nó có cùng h à m trung bình và h à m t ựt ư ơ n g quan v ớ i q u á t r ì n h Y(t) = Xịt + h) , V7i € R . Đ i n h n g h ĩ a 2. Quá trình X(t) , í € R được gọi là quá trình dửng mạnh(hay dứng theo nghiã hẹp) nếu với mọi h € K, và với mọi í Ì < Í2, ••• < t nphân phối đồng thời của {X{h + h), X{t 2 +h ) , X { i n + h)}và của {X(ti),x(t2), ...,x(t )} n là nhu nhau. Điều n à y có n g h i ã là p h â n phối h ữ u hạn chiều không thay đ ổ i khi ta tịnht i ế n bộ chỉ số t h ờ i gian (íi,Í2> •••ỉtn) • R õ r à n g m ộ t q u á trình dừng mạnh có moment cấp 2 là m ộ t q u á t r ì n hdừng. Điều n g ư ợ c l ạ i nói chung không đ ú n g . Tuy nhiên, n ế u m ộ t q u á trình dừng là q u á t r ì n h Gauss t h ì nó sẽ là q u átrình dừng m ạ n h . B ở i vì p h â n phối h ữ u h ạ n chiều của q u á t r ì n h Gauss hoàntoàn đ ư ợ c x á c đ ị n h b ở i h à m trung bình v à h à m t ự t ư ơ n g quan. Hàm K(t) cũng được gọi là h à m t ự t ư ơ n g quan của q u á t r ì n h dừng. Tacó t í n h chất sau đ â y của h à m K(t) . Đinh l ý 1. (i) K(t) là một hàm chẵn, tức là Kịt) = K(—t),Ví G R . (ii) K{t) < K{0) , VÉ 6 R . (iii) K(t) là hàm xác định không âm, tức là vơi mọi ti,Í2, ...,tn EM. và với mọi bi,b2,---,b n € R thì TI n , »=13=1 . Ch n g m i n h d ễ d à n g suy t ừ t í n h chất của h à m t ự t ư ơ n g quan r(s,t)(theo định lý Ì , c h ư ơ n g ì ) . 49 2.1.2. Các ví d ụ Q u á t r ì n h dừng là một mô hình toán học thích hợp đ ể m ồ t ả nhiều hiệnt ư ợ n g trong kinh t ế , khí tượng - t h ú y văn, vật lý, điện t ử - v i ễ n t h ô n g , v.v... V í d u 1. G i ả sử í/ và V là hai đ ạ i lượng ngẫu nhiên k h ô n g t ư ơ n g 2 2 1quan v ớ i EU = EV = 0 , EU = EV = Ớ . V ớ i A là m ộ t số thủc, xét q u átrình X{t) = u COS Ải + v sin Ai . Hãy chứng t ồ X(t) là q u á t r ì n h dừng và t ì m h à m t ủ t ư ơ n g quan củanõ. Giải. Ta c ó m{t) = COS XtEU + s i n XtEV = 0 . r ( s , í ) = EX(s)X(t) =E {U COS As + V s i n Xs)(U COS Xt + V s i n Ai) = E u 2 cos As cos Ai ...