Bài giảng Cơ sở toán ứng dụng: Chuỗi trong mặt phẳng phức - T.S Lê Xuân Đại

Nội dung chính của bài giảng "Cơ sở toán ứng dụng" do T.S Lê Xuân Đại trình bày các kiến thức về định nghĩa; Tiêu chuẩn D’Alamber và các bài tập liên quan đến chuỗi trong mặt phẳng phức. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung chính bài giảng này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ sở toán ứng dụng: Chuỗi trong mặt phẳng phức - T.S Lê Xuân Đại CHUỖI TRONG MẶT PHẲNG PHỨC TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011.ng.com https://fb.com/tailieudientucntt TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI TRONG MẶT PHẲNG PHỨC TP. HCM — 2011. 1 / 32 Chuỗi có số hạng phức Định nghĩa Định nghĩa Chuỗi có số hạng phức là chuỗi ∞ P fn (z) = f1(z) + f2(z) + . . . + fn (z) + . . . Tổng n=1 riêng thứ n của chuỗi này là tổng Sn (z) = f1(z) + f2(z) + . . . + fn (z) Định nghĩa Chuỗi có số hạng phức hội tụ tới số phức S(z) khi lim Sn (z) = S(z) n→∞ng.com https://fb.com/tailieudientucntt TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI TRONG MẶT PHẲNG PHỨC TP. HCM — 2011. 2 / 32 Chuỗi có số hạng phức Định nghĩa Định nghĩa Chuỗi có số hạng phức hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∞ P |fn (z)| = |f1(z)| + |f2(z)| + . . . + |fn (z)| + . . . n=1 hội tụ. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ nhưng đảo lại không đúng. Định lý Điều kiện cần và đủ để chuỗi có số hạng phức hội tụ là P∞ ∞ P các chuỗi phần thực và phần ảo Re fn (z), Im fn (z) n=1 n=1 hội tụ đến Re f (z) và Im f (z). Khi đó P ∞ng.com https://fb.com/tailieudientucntt fnXuân TS. Lê (z)Đại = (BK Re f (z) + TPHCM) iIm CHUỖI TRONGf (z). MẶT PHẲNG PHỨC TP. HCM — 2011. 3 / 32 Chuỗi có số hạng phức Định nghĩa Tiêu chuẩn D’Alambert Định lý Đối với chuỗicó số hạng phức, nếu fn+1(z) lim = |r (z)| thì chuỗi này hôi tụ tuyệt n→∞ fn (z) đối tại các điểm z thỏa 0 6 |r (z)| < 1 và phân kỳ tại các điểm z thỏa |r (z)| > 1. Các điểm z thỏa |r (z)| = 1 là biên của miền hội tụ của chuỗi và cần khảo sát riêng.ng.com https://fb.com/tailieudientucntt TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI TRONG MẶT PHẲNG PHỨC TP. HCM — 2011. 4 / 32 Chuỗi có số hạng phức Ví dụ Ví dụ Tìm miền hội tụ của chuỗi 2 n−1 1 z +1 1 z +1 1 z +1 1+ 2 + +..+ 2 +... 2 z − 1 32 z − 1 n z −1 Đáp số. Miền hội tụ là nửa mặt phẳng Re z 6 0. fn+1(z) Xét tỉ số lim = n→∞ fn (z)