Bài giảng Dạng toàn phương - TS. Lê Xuân Đại

Bài giảng "Dạng toàn phương" do TS. Lê Xuân Đại biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Những khái niệm cơ bản, dạng toàn phương xác định dấu, nhận dạng đường và mặt bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Dạng toàn phương - TS. Lê Xuân Đại DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43Nội dung 1 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2 Dạng toàn phương xác định dấu: Luật quán tính, tiêu chuẩn Sylvester 3 Nhận dạng đường và mặt bậc hai TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 2 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩaĐịnh nghĩaDạng toàn phương trong Rn là một hàm thựcf : Rn → R, ∀x = (x1, x2, . . . , xn )T ∈ Rn :f (x) = x T .M.x, trong đó M là ma trận đối xứngthực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương(trong cơ sở chính tắc).Ví dụf (x) = f (x1, x2) = 2x12 + 3x22 − 6x1 x2 là dạng toàn 2 −3phương. Ma trận M có dạng M = −3 3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 3 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩaDạng toàn phương trong R3 thường được ghi ởdạng f (x) = f (x1, x2, x3) =Ax12 + Bx22 + Cx32 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3.Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trậnđối xứng   A D E M =D B F  E F C   x1f (x1, x2, x3) = x T .M.x = (x1 x2 x3).M.  x2  x3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 4 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụVí dụf (x) = f (x1, x2, x3) =x12 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x32 là 1 dạng toànphương. Ma trận của dạng toàn phương là   1 −1 2 M =  −1 0 1  2 1 −1TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 5 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giaoCho dạng toàn phương f (x) = x T .M.x, vớix = (x1, x2, x3)T . Vì M là ma trận đối xứng thựcnên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P vàma trận chéo D : D = P T MP ⇒ M = PDP T .Khi đóf (x) = x T .P.D.P T .x = (P T .x)T .D.(P T .x). Đặty = P T .x = P −1x ⇔  x = Py . Tacóg (y )= λ1 0 0 y1y T Dy = (y1, y2, y3)  0 λ2 0   y2  . Vậy 0 0 λ3 y3f (x) = g (y ) = λ1y12 + λ2y22 + λ3y32.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giaoĐịnh nghĩaDạng toàn phương g (y ) = y T Dy được gọi là dạngchính tắc của dạng toàn phương f (x) = x T Mx.Định lýDạng toàn phương f (x) = x T Mx luôn luôn có thểđưa về dạng chính tắc g (y ) = y T Dy bằng cáchchéo hóa trực giao ma trận M của dạng toànphương.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giaoĐưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi trực giaoBước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương(trong cơ sở chính tắc)Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P vàma trận chéo D.Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm làg (y ) = y T Dy . Phép biến đổi cần tìm x = Py . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 8 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụVí dụĐưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắcbằng phép biến đổi trực giaof (x1, x2, x3) = −4x1x2 − 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x32Ma trận  của dạng toànphương 0 −2 −2M =  −2 3 −1  −2 −1 3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ −λ −2 −2 det(M − λI ) = −2 3 − λ −1 = 0 ...