Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (tt)" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, quy tắc ngắt bỏ VCL, liên tục của hàm số, tính chất của hàm số liên tục,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vnĐịnh nghĩa (vô cùng lớn)Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x  x0 nếu lim f ( x)  . x  x0Ví dụ f ( x )  2 x 2  3cos x là một vô cùng lớn khi x  , vì lim 2 x 2  3cos x  . x Định nghĩaCho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x  x0 . f ( x)Giả sử xlim  k.  x0 g ( x ) 1) Nếu k   , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). f ( x)  ( g ( x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu k  1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. f ( x)  g ( x)Qui tắc ngắt bỏ VCL Toå ng höõ u haï n caù c VCL lim xx 0 Toå ng höõ u haï n caù c VCL VCL baä c cao nhaá t cuû a töû  lim xx0 VCL baä c cao nhaá t cuû a maã uVí dụ 2 x  4  2x  3 x I  lim x  x2  4  x x  2Tử là tổng của ba VCL: x  4  2x  3 x 3x x  2 Mẫu là tổng của hai VCL: x 4  x 2x 3x 3 I  lim  x  2 x 2 3. Liên tục của hàm số Định nghĩa Hàm y  f ( x) được gọi là liên tục tại x0 , nếu xác định tại điểm này và lim f ( x)  f ( x0 ). x  x0Định nghĩaNếu hàm không liên tục tại x0, ta nói hàm gián đoạn tại điểm này. thì f(x) tiến đến f(a). Khi x tiến đến a.đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)).Định nghĩa Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y  f ( x)1) Điểm gián đoạn loại một: giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn. x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+) x0 là điểm nhảy: f ( x0  )  f ( x0  ) bước nhảy: h  f ( x0  )  f ( x0  ) 2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một. Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được.f ( x)   x  x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.x = 0 là điểm gián đoạn loại hai.Tính chất của hàm số liên tụcCho y  f ( x ), y  g ( x ) là hai hàm liên tục tại x0 , khi đó 1)  f ( x ); f ( x )  g ( x ); f ( x)  g ( x ) liên tục tại x0. f ( x) 2) Nếu g ( x0 )  0 , thì liên tục tại x0. g ( x)Định lýNếu hàm f(x) liên tục tại x0 và f ( x0 )  0, thì tồn tại một ân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.Định lý (Bozano- Côsi)Nếu y  f ( x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B hì C  [ A, B ] tồn tại x0   a, b  sao cho f ( x0 )  C. ệ quả ếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì ồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.Định nghĩaCác hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1/ hàm hằng 2/ hàm lũy thừa y  x x3/ hàm mũ y  a ; a  0, a  1 4/ hàm logarit y  log a x; (a  0, a  1) 5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược 7/ hàm hyperbolicĐịnh nghĩaHàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bảnbằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,nhân, chia, khai căn và phép hợp.Định lý Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.  1  y  sin 3 x  ln   là hàm sơ cấp 2 x Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2.í dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  , x0 f ( x)   x  1, x0 sin xx  0, f ( x)  là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ x sin x sin xTại x = 0: lim  1  lim  f (0) x 0  x x 0  x Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.í dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  , x0 f ( x)   x  1, x0  sin xx  0, f ( x)  là hàm sơ cấp nên liên tục ...