Bài giảng Giải tích 1: Phần 2

Nối tiếp nội dung của phần 1 cuốn "Bài giảng Giải tích 1", phần 2 giới thiệu tới người đọc các kiến thức cơ bản và bài tập về phép tính tích phân một biến số và hàm số nhiều biến số. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Phần 2 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN MỘT BIẾN SỐ §1. T ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH1.1 Nguyên hàm của hàm số Chương này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tínhđạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f ( x ) thì có tồn tại hay khôngmột hàm số F( x ) có đạo hàm bằng f ( x )? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F( x ) nhưvậy.Định nghĩa 2.2. Hàm số F( x ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên một tậpD nếu F0 ( x ) = f ( x ), ∀ x ∈ D hay dF( x ) = f ( x )dx.Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất,nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàmsố đó.Định lý 2.10. Nếu F( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng D, thì: • Hàm số F( x ) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x ), với C là một hằng số bất kỳ. • Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f ( x ) đều viết được dưới dạng F( x ) + C, trong đó C là một hằng số.Như vậy biểu thức F( x ) + C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ), mỗi hằngsố C tương ứng cho ta một nguyên hàm. 3738 Chương 2. Phép tính tích phân một biến sốĐịnh nghĩa 2.3. Tích phân bất định của một hàm số f ( x ) là họ các nguyên hàm F( x ) + C,với x ∈ D, trong đó C là một nguyên hàm củaZ hàm số f ( x ) và C là một hằng số bất kỳ.Tích phân bất định của f ( x )dx được ký hiệu là f ( x )dx. Biểu thức f ( x )dx được gọi là biểuthức dưới dấu tích phân và hàm số f ( x ) được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. ZVậy f ( x )dx = F( x ) + C, với F( x ) là nguyên hàm của f ( x ).Các tính chất của tích phân bất định Z 0 Z • f ( x )dx = f ( x ) hay d f ( x )dx = f ( x )dx Z Z • F0 ( x ) dx = F( x ) + C hay dF( x ) = F( x ) + C Z Z • a f ( x )dx = a f ( x )dx (a là hằng số khác 0) Z Z Z • [ f ( x ) ± g( x )] dx = f ( x )dx ± g( x )dx Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung Z Z Z [α f ( x ) + βg( x )] dx = α f ( x )dx + β g( x )dx trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0.Các công thức tích phân dạng đơn giản x α+1 Z Z α dx x dx = + C, (α 6= −1) = ln | x | + C Z α+1 Z x sin xdx = − cos x + C cos xdx = sin x + C Z Z dx dx = −cotgx + C = tgx + C sin2 x cos2 x ax Z Z ax dx = + C, (a > 0, a 6= 1) e x dx = e x + C ln a Z a + x Z dx 1 dx 1 x = ln +C = arctg + C a2 − x 2 2a a − x x2 +a 2 a a Z Z dx p dx x √ = ln x + x2 + α + C ...