Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y), đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y), sự khả vi và vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1) Chương 1:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần 1 Nội dung1. Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y)2. Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y)3. Sự khả vi và vi phân. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) f f (x0  x, y0)  f (x0, y0) fx (x0, y0)  (x0, y0)  lim x x0 x (Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0) Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0) f f (x0, y0  y)  f (x0, y0 ) fy (x0, y0 )  (x0, y0 )  lim y y 0 y Ý nghĩa của đhr cấp 1Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 đi qua P. (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b)f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 củaC1 tại x = a.f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phầngiao của Svới mp x = a) tại y = b Các ví dụ về cách tính.1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx (1,2), fy (1,2)fx (1, 2) : cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến 2 f ( x , 2)  6 x  4 x 2 fx (1, 2)  (6 x  4 x ) |x 1  12 x  4 |x 1  16  f(x,y) = 3x2y + xy2fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến 2 f (1, y )  3y  y 2  fy (1,2)  (3y  y ) |y  2  (3  2y ) |y 2  7 2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx ( x , y ), fy ( x , y ) với mọi (x, y)  R2fx ( x , y ) Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x 2  fx ( x , y )  6 xy  y , ( x , y ) Áp dụng tính: f  (1, 2)  (6 xy  y 2 ) | x x 1, y  2  16(Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2fy ( x , y ) Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y 2  fy ( x , y )  3x  x 2y , ( x , y ) Áp dụng tính: 2 fx (1, 2)  (3x  2 xy ) |x 1, y 2  72/ Tính fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy y 1 fx ( x , y )  yx , x  0 11 fx (1,1)  1  1  1; yfy ( x , y )  x ln x , x  0 1 fy (1,1)  1 ln1  0  xy ,( x , y )  (0,0)  23/ Cho f ( x , y )   x  y 2 0, ( x , y )  (0,0)  a/ Tính f  (0,1) x b/ Tính f  (0,0) x  xy ,( x , y )  (0,0)  2 2 f (x, y )   x  y 0, ( x , y )  (0,0) a/ Tính fx (0,1) (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức. 2 2 2 y (x  y )  2x y fx ( x , y )  2 2 2 , ( x , y )  (0,0) (x  y ) fx (0,1)  1  xy ,( x , y )  (0,0)  2 2 f (x, y )   x  y 0, ( x , y )  (0,0)  (0,0) là điểm phân chia biểu thứcb/ Tính fx (0,0)  Tính bằng định nghĩa f ( x0  x , y 0 )  f ( x0 , y 0 ) fx ( x0 , y 0 )  lim x  0 x f (0  x ,0)  f (0,0)fx (0,0)  lim  lim 0  0 x  0 x x  0 4/ Cho f ( x , y )  e  x2 y 2 tính fx ( x , y ) Hàm f xác định tại, mọi (x,y) x  x 2 y 2fx ( x , y )   e , ( x , y )  (0,0) 2 2 x y Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0)  x2 y 2 f (x, y )  e • Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa f (0  x ,0)  f (0,0)  x 2 e 1  x x  x 2 e 1  lim  1 x 0 xf không có đạo hàm theo x tại (0, 0)(f’x(0,0) không tồn tại) . Ví dụ cho hàm 3 biến (Tương tự hàm 2 biến) ...