Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 cung cấp cho người học những kiến thức như: Phương trình vi phân; Phương trình vi phân cấp 1; Phương trình vi phân cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 - TS. Nguyễn Văn Quang1. Phương trình vi phân2. Phương trình vi phân cấp 13. Phương trình vi phân cấp 2 TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầmMột số bài toán dẫn tới phương trình vi phân Cho một vật khối lượng ? rơi tự do trong không khí. Giả sử sức cản của không khí tỷ lệ với vận tốc rơi là ?(?) vào thời điểm ? với hệ số tỷ lệ là ? > 0. Tìm ?(?). Khi vật rơi thì lực tác dụng lên vật gồm: lực hút trái đất ??, lực cản của không khí ??(?). Theo định luật Newton: ?? = ?, với ? là gia tốc của vật rơi. Do đó: ?? ? = ?? − ??. ?? Hay: ?? ′ = ?? − ??. Đây là phương trình vi phân để tìm hàm ?(?). 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNMột số bài toán dẫn tới phương trình vi phân Cho đường cong ? = ?(?). Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong đó, biết rằng tiếp tuyến tại 1 điểm trên đường cong sẽ cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2 lần tung độ của tiếp điểm. Pt tiếp tuyến với ? = ?(?) tại điểm ?(?0 , ?0 ): ? = ?0 + ? ′ ?0 . (? − ?0 ) Giao điểm của tiếp tuyến này với trục Oy (? = 0): ?1 = ?0 − ? ′ ?0 . ?0 Vì: ?1 = 2?0 → ?0 = −? ′ ?0 . ?0 . Do ?(?0 , ?0 ) là điểm bất kỳ, nên ta ′ ?(?) có phương trình vi phân: ? ? = . ? 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNĐịnh nghĩa Phương trình vi phân là phương trình mà đối tượng phải tìm là hàm số và hàm số phải tìm có mặt trong phương trình đó dưới dạng đạo hàm hoặc vi phân các cấp. Phương trình vi phân thường (gọi tắt là phương trình vi phân) là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm số 1 biến số. PTVP thường: ′ 2 2 2 ?2 ? ? =? +? ??? − ? ?? = 0 = −?2 ? ?? 2 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNĐịnh nghĩa Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm số nhiều biến số. PTVP đạo hàm riêng: ?? ?? ?2 ? ?2 ? ? +? =? + =0 ?? ?? ?? 2 ?? 2 Trong khuôn khổ chương trình này, chúng ta chỉ xét PTVP thường, và ta gọi tắt là PTVP. 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNĐịnh nghĩa Cấp cao nhất của đạo hàm (hoặc vi phân) trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân. y( x) y( x)  3  x sin x phương trình vi phân cấp 2. x 3 2 d y d y 3 3 e 2x phương trình vi phân cấp 3. dx dx  2u  2u  1 phương trình đạo hàm riêng cấp 2. x xy 2 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNĐịnh nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n:   F x, y, y ,..., y (n) 0  (1) Ví dụ:    3 y 2 x  e y y  y 3  2 x  0  Nếu giải ra được y (n) : y (n)    x, y, y,..., y ( n 1)  Ví dụ:    x 2  xy dy  2 x 2  y 2 dx  dy 2 x  y 2 2 Giải ra được: y   2 dx x  xy 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNNghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng của PTVP Nghiệm của phương trình (1) trên tập X là một hàm y   ( x) xác định trên X sao cho khi thay vào (1) ta được đồng nhất thức. Đồ thị của nghiệm y   ( x) gọi là đường cong tích phân. 1 Ví dụ: phương trình vi phân y  y  0 có nghiệm là: x y  ...