Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu

Bài giảng Giải tích: Chương 5 Ứng dụng của tích phân của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Tính diện tích hình phẳng, tính độ dài của cung, tính thể tích vật thể, tính diện tích mặt tròn xoay. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu30/10/2017Chương 5:Ứng dụng của tích phânGV. Phan Trung Hiếu§1. Tính diện tích hình phẳng§1. Tính diện tích hình phẳng§2. Tính thể tích vật thể§3. Tính độ dài của cung§4. Tính diện tích mặt tròn xoayLOGO2I. Hình thang cong trong tọa độ Descartes:Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con S1 , S2 ,..., SnBài toán: Tính diện tích hình thang cong abBAgiới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) vàhai đường thẳng x = a, x = b.Xấp xỉ mỗi miền con bằng các hình chữ nhật3Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 phần, 4 phần,8 phần và 12 phần4Trên mỗi miền S1 , S2 ,..., Sn lấy một điểm tùy ýTa có S  S1  S2  ...  Sn56130/10/2017Ví dụ 1.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi đường cong y  x 2 , trục hoành, hai đườngthẳng x = 0 và x = 1.GiảiCách 1 (Dùng định lý 1.1): Vì y  x 2  0, x  [0,1]nên1S   x 2 dx 01 0,3333.3Định lý 1.1: Tích phân của một hàm không âm f liên tụctrên [a,b] cũng có thể coi như là diện tích S của hìnhthang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàmy = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa làbS   f ( x )dx , f ( x )  0, x  [a, b].a78-Nếu chia S thành 30 miềnCách 2 (Dùng tổng):-Nếu chia S thành 4 miền9-Nếu chia S thành 50 miền10Hệ quả 1.2: Nếu f liên tục trên [a,b] thìbS   f ( x ) dxaVí dụ 1.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi y = sinx, trục Ox, x = 0 và x = 2Hệ quả 1.3: Nếu hình phẳng giới hạn bởi haiđường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳngx = a và x = b thìbS   f ( x )  g( x ) dxa1112230/10/2017Ví dụ 1.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi y  x 3 và y  x trên [-1;1].Hệ quả 1.4: Nếu hình phẳng giới hạn bởi haiđường cong x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳngy = c và y = d thìdS   f ( y )  g( y ) dycVí dụ 1.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi parabol y 2  2 x  6 và đường thẳng y  x 1.13III. Hệ tọa độ cực:O: cựcOx: trục cựcr: bán kính cực : góc cực(r , ) : tọa độ cựcTa quy ước góc   0 nếu Ox quay theo hướng ngượcchiều kim đồng hồ.15Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc sao chogốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực thì giữahệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực có công thức liênhệ sau x  r cos , y  r sin  .II. Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số:Hệ quả 1.5: Hình thang cong cho bởi x  x(t ), t  [ ,  ] y  y (t )có diện tích làS   y (t ). x (t ) dtVí dụ 1.5: Tính diện tích của hình elip giới hạn22bởi đường elip x  y  1.a2b214Chú ý rằng, có nhiều hơn một cặp giá trị (r , ) cùngxác định vị trí của một điểm P. Ví dụ, các cặp số  3,  n2  , n   6đều xác định vị trí của một điểm P trong hệ tọa độcực.Do đó, nếu quy ước 0  r  , 0    2 thì mỗi điểmP trong mặt phẳng sẽ ứng với một cặp số (r , ) duynhất. Đặc biệt, khi r = 0 thì P trùng O.16IV. Đường cong trong hệ tọa độ cực:Xét hàm số r  r ( ) . Khi góc cực  biến thiên từ đến  thì điểm P với tọa độ cực  r ( ),  vạch nênmột đường cong C trong mặt phẳng. Ta nói đườngcong C trong hệ tọa độ cực có phương trìnhr  r ( )Ví dụ 1.6: Phương trình tọa độ cực của đường tròn tâmI(a;0), bán kính r = a (a > 0) là r  2 a cos  .Giả sử cho a = 1, ta được phương trình đường tròntâm I(1,0), bán kính r = 1 là r  2 cos  và ta có thểvẽ đường tròn đó trong hệ tọa độ cực như sau1718330/10/2017Ví dụ 1.7: Một số hình vẽ đường cong trong hệ tọa độcực1920V. Hình thang cong trong tọa độ cực:Hệ quả 1.6: Trong hệ tọa độ cực (r , ) , cho hìnhquạt cong giới hạn bởi r  r ( ),   [ ,  ]. Khi đó,diện tích của quạt cong là§2. Tính thể tích vật thể1S   r 2 ( )d2Ví dụ 1.7: Tìm diện tích của hình quạt congr  cos2 ,  .4421I. Vật thể V bất kỳ:Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín vớithiết diện phụ thuộc biến x [a, b] là S(x). Thểtích của vật thể V sẽ là22II. Vật thể tròn xoay:Loại 1: Có thể quay hình thang congy  f ( x )  0, x  [a, b]quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật trònxoay có diện tích thiết diện S( x )   f 2 ( x ).Vì vậy, thể tích làbbV   S ( x )dxV    f 2 ( x )dxaaVí dụ 2.1: Tính thể tích khối cầu bán kính R.23Ví dụ 2.2: Tính thể tích vật tròn xoay sinh rakhi quay đường tròn x 2  y 2  R 2 quanh trục Ox24430/10/2017Loại 2: Cho miền D giới hạn bởi cung y  f ( x ), x  [a, b]và Ox nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độquay quanh Oy thìbV  2  xf ( x )dx§3. Tính độ dài của cungaVí dụ 2.3: Cho miền D giới hạn bởi y  5 x 3 , x  1,x  3 và Ox quay quanh Oy. Tính thể tích hìnhđó.25I. Cung cho bởi đường cong y = f(x):Đường cong y  f ( x ), x  [a, b], xác định một cung ABvới độ dài làb2l   1   f ( x )  dx26II. Cung cho bởi hàm phụ thuộc tham số:Đường cong cho bởi x  x(t ), t  [ ,  ] y  y (t )Khi ...