Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu

Bài giảng Giải tích: Chương 6 Tích phân suy rộng của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 2 bài được trình bày như sau: Các loại tích phân suy rộng, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu04/12/2017Chương 6:Tích phân suy rộngVí dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phânsuy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãycho biết nó thuộc loại nào.1dxa )  2 dxb)  2xx 11 /2GV. Phan Trung Hiếu§1. Các loại tích phân suy rộng§2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộngc) 0sin xdxcos x1dxx1d )1dx.x2e) LOGO4§1. Các loại tích phân suy rộng2Loại 1: abf ( x) dx;f ( x )dx.Loại 2:b f ( x)dx trong đó lim f ( x)   với c  [a, b].ax c3của tích phân suy rộng5f ( x) dx;§2. Khảo sát sự hội tụTH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạntại điểm suy rộng của tích phân xác định đểtính tích phân.TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêuchuẩn so sánh với tích phân đã có kết quảhoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hayphân kỳ.6104/12/2017TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)): Điểm suy rộng tại c  ( a, b)bPhương pháp:-Chú ý những điểm suy rộng:  , điểmc  [a, b] mà lim f ( x )  .x c-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tíchphân xác định để tính tích phân.abcf ( x) dx   f ( x) dx   f ( x )dxac-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồntại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngượclại là tích phân phân kỳ.-Trong công thức ,,, nếu cả 2 tíchphân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phânhội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.710Chú ý 2.1:Định lí 2.2:bb  f ( x)dx  alim  f ( x)dx f ( x )dx  limb  af ( x )dxf ( x )dx   f ( x )dx abcf ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx, c   tùy ýbb)x a bf ( x )dx  lim  f ( x)dxt atx b tbt bcac29c  (a, b)aa11e) f)0b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx,ad )  xe  x dxg) a Điểm suy rộng tại a và bbaVí dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tíchphân sau (trong trường hợp hội tụ)0dxln xa)  2b)  e x dxc) dxxx1101f ( x ) dx  lim  f ( x ) dxa g ( x)dx.f ( x) dx hội tụ và k là một hằng sốa a Điểm suy rộng tại b lim f ( x )  a  k . f ( x) dx hội tụ và k . f ( x) dx  k .  f ( x)dx Điểm suy rộng tại a lim f ( x)  af ( x) dx 8ac  f ( x)  g ( x) dx f ( x )dx, b  (0, ) tùy ýaaba g ( x)dx hội tụ   f ( x)  g ( x)  dx hội tụ vàaf ( x) dx hội tụ vàa ba)aj) 2dx1  x22 xdx1  x2 /2h)0sin xdx1  cos xdx1  x21e x dxex  11i) dx4  x212204/12/2017TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):Phương pháp:-Chú ý những điểm suy rộng:  , điểmc  [a, b] mà lim f ( x )  .Chú ý 2.4: Với 0  a   , ta cóx c-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đãcó kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyênhàm.a1dxxn01dxxn13f ( x )dx, g ( x)dxii) k  0 :1 (b  x)n dxacùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.g ( x)dx hội tụ af ( x) dx hội tụ.af ( x)dx phân kỳ b1 ( x  a)n dxaaf ( x )dx hội tụ  g ( x)dx hội tụ.aa14f ( x )  g ( x ) khi x  af ( x)dx và g ( x)dxacùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên[ a, b), (a , b]15phân kỳ  n  1f ( x) dx phân kỳ.17aHệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên [a, ) vàhội tụ  n  1 g ( x)dx phân kỳ  aphân kỳ  n  1 Với a  b   , ta có g ( x)dx phân kỳ.iii) k   :hội tụ  n  1athìbaphân kỳ  n  1 Với a  b   , ta cóahội tụ  n  116Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên [a, ) và khả tíchtrên mọi đoạn [a,b], b  a.f ( x) k.Xét xlim g ( x )i) 0  k   :phân kỳ  n  1 Với 0  b   , ta cóbhội tụ  n  1Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phâna) 1c) 1dx3x  x 1b) 1( x  5) dx3x 1 xd) 302 xdxx5  x  1dxx31dxsin x01ln(1  x)dxx 3/20f )e) 18304/12/2017Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phâna) 0x2ex2b) dx111x21ln xd)dxx0c )  xe dx021dxe) f )x2  11x 2  x  5ln xdx2 x3  x  10x 3dx3(1  x 2 )5Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấuPhương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Địnhlý sauTích phân suy rộng của f (x) hội tụ Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ.Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệtđối.Chú ý kết quả: sin X 1; cos X 1, X .Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân119sin xdxx322Định lí 2.5:0  f ( x) Khi đó:[a,  )g ( x ) với mọi x trên [a, b), lim f ( x )  x b (a, b], lim f ( x)  x abbi) ...