Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 4: Tích phân mặt

Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân hai mặt" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2, công thức Gauss, công thức Stokes,.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 4: Tích phân mặtCHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttTích phân mặt loại 1Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia Sthành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên vàdiện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trênmỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ývà lập tổng n Sn f (Mk ) Sk k 1 Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là n f ( x, y , z )ds lim f (Mk ) Sk max( d Sk ) 0 k 1 S CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttTích phân mặt loại 1Tính chất :Diện tích mặt S được tính bởi S ds S ( f g )ds fds gdsS S SNếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lênnhau là S1 và S2 thì fds fds fdsS S1 S2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttTích phân mặt loại 1Cách tính: f ( x, y , z )ds f ( x, y , z( x, y )) 1 zx2 zy2dxdyS DxyTrong đó :Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0)Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y đểđược z=z(x,y)Biểu thức 1 zx2 zy2dxdy ds được gọi là viphân của mặt S CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại 1Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặtnón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+zHình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 x zx x2 y2Pt mặt S (z dương) z x2 y2 → y zy 2 2 x ySuy ra: ds 2dxdy Vậy:I1 (x y z )ds (x y x2 y 2 ) 2dxdy S Dxy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại 1Đổi tp sang tọa độ cực: 2 1I1 d cos sin r rdr 0 0 2I1 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttTích phân mặt loại 1Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3ztrên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0,x+2y+3z=6C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta được Dyz: ΔOBC BO I21 fds (2y 3z )dydz A ( x 0) OBC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại 1C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa độ còn lại I22 fds (x 3z )dxdz ( y 0) OAC BO I23 fds (x 2y )dxdy ( z 0) OAB ACuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Tachiếu xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt : 2 1 4 1 14z 2 y x ds 1 dxdy dxdy 3 3 9 9 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttTích phân mặt loại 1 14Do đó: I24 fds 6. dxdy ( x 2 y 3 z 6) OAB 3 I2 I21 I22 I23 I24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại 1Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trênmặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầux2+y2+z2=2Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vìcả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉlà 1 đường tròn x2+y2=1Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Tasẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cáchkhử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x 1 y2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại 1Do pt cả 2 mặt ...