Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh

Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân bội ba" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba; tọa độ trụ, tọa độ cầu; ứng dụng hình học, ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 4 - TS. Đặng Văn VinhTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba0.2 – Tọa độ trụ0.3 – Tọa độ cầu0.4 – Ứng dụng hình học0.5 – Ứng dụng cơ học I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f  f ( x, y, z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn EChia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: E1 , E2 ,..., En .Thể tích tương ứng mỗi khối V ( E1 ),V ( E2 ),...,V ( En ).Trên mỗi khối Ei lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi , zi ). n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  V ( Ei ) i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y, z )dxdydz E được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính chất của tích phân bội ba 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này. 2) VE   dxdydz E 3)    f ( x, y, z )dxdydz   f ( x, y, z ) dxdydz E E 4)  ( f  g )dxdydz   f dxdydz   gdxdydz E E E 5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 không dẫm lên nhau:  fdxdydz   fdxdydz   fdxdydz E E1 E2 6) ( x, y, z )  E , f ( x, y, z )  g ( x, y, z )   f   g E Enh lý (Fubini) I   f ( x, y, z )dxdydz E z  z2 ( x, y )hân tích khối E: Chọn mặt chiếu là x0y.Mặt phía dưới: z  z1 ( x, y )Mặt phía trên: z  z2 ( x, y )Hình chiếu: Pr0 xy E  D z  z1 ( x, y )   f ( x, y, z )dxdydz E  z2 ( x , y )     f ( x, y, z ) dz dxdy D  z1 ( x , y )  Hình chiếu: DVí dụTính tích phân bội ba I   ( x  z )dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x 2  y 2  1, z  2  x 2  y 2 , z  0Hình chiếu của E xuống 0xy: D : x2  y 2  1Mặt phía trên: z2 ( x, y )  2  x 2  y 2 Mặt phía dưới: z  0  2 x 2  y 2  I     ( x  z )dz dxdy x 2  y 2 1   0  2 x 2  y 2  z2 I    xz   dxdy x 2  y 2 1  2 0  2 2 2  2 2 (2  x  y )I    x(2  x  y )  dxdy x 2  y 2 1  2  (2  x 2  y 2 )2I   dxdy Đổi sang tọa độ cực. x 2  y 2 1 2 2 2I   d  1 2  r 2  r  dr  7 0 0 2 6Ví dụTính tích phân bội ba I   zdxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E y  1  x, z  1  x 2 và các mặt phẳng tọa độ, (phần z  0 )Hình chiếu của E xuống 0xy: Tam giác OAB 2Mặt phía trên: z2 ( x, y )  1  x Mặt phía dưới: z  0 1 x2 I     zdz dxdy B OAB  0  A A 1 x2  I     zdz dxdy OAB  0   2 1 x 2   z dxdy I   B OAB  2 0  O   2I   1  x  dxdy 2 OAB 2 2 1 1 xI   dx  1  x  dy 2  11 0 0 2 60Ví dụTính tích phân I   (2 x  3 y )dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E y  x , z  1  y, x  0, z  0.Mặt phía trên: z 1 yMặt phía dưới: z  0Hình chiếu của E xuống 0xy: 1 y I      2 x  3 y  dz dxdy D 0   1 y I   (2 x  3 y ) z 0 dxdy D I     2 x  3 y  (1  y ) dxdy D 1 1I   dx    2 x  3 y  (1  y) dy 0 x 11I 60Ví dụTính tích phân I   ( z  1)dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x  y 2 , z  x, z  0, x  1. Mặt p ...