Bài giảng Không gian Euclide - TS. Lê Xuân Đại

Bài giảng "Không gian Euclide" cung cấp cho người học các kiến thức: Không gian Euclide (định nghĩa, độ dài véctơ (chuẩn của véctơ), khoảng cách giữa hai véctơ, góc giữa 2 véctơ), sự trực giao. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Không gian Euclide - TS. Lê Xuân Đại KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56 → −Công của lực F → − − A = F .→ s = F .s. cos α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56 → − → − a = (a1, a2), b = (b1, b2). → − q = a1.b1 + a2.b2; ||→ − a || = a12 + a22 → − → − → − → − → − cos α = → − ; d ( a , b ) = || a − b || → − || a ||.|| b ||TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56Nội dung 1 Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2 véc-tơ 2 Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở trực giao, quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56 Không gian Euclide Định nghĩaCho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gianEuclide (thực) nếu < ·, · >: E × E → R (x, y ) 7−→< x, y > − gọi là tích vô hướng của 2 véctơ. Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề 1 < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E 2 < x + y , z >=< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ E 3 < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R. 4 < x, x >> 0, x 6= 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56 Không gian Euclide Ví dụVí dụR−kgv R3 là không gian Euclide với tích vô hướng(x, y ) 7−→< x, y >= x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 = x.y Tvới x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3).Ví dụR−kgv Rn là không gian Euclide với tích vô hướng< ·, · >: Rn × Rn → R n xi yi = x.y T P (x, y ) 7−→< x, y >= i=1với x = (x1, x2, . . . , xn ), y = (y1, y2, . . . , yn ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 6 / 56 Không gian Euclide Ví dụVí dụTrong R−kgv R2 có thể xác định tích vô hướngkhác (x, y ) 7−→< x, y >= x1.y1 + 2x2.y2với x = (x1, x2), y = (y1, y2). < x, y >= x1 .y1 + 2x2 .y2 = y1 .x1 + 2y2 .x2 =< y , x > < x + y , z >= (x1 + y1 )z1 + 2(x2 + y2 )z2 = (x1 z1 + 2x2 z2 ) + (y1 z1 + 2y2 z2 ) =< x, z > + < y , z > < αx, y >= α.x1 .y1 + 2α.x2 .y2 = α(x1 y1 + 2x2 y2 ) = α. < x, y > < x, x >= x1 .x1 + 2x2 .x2 = x12 + 2x22 > 0. Dấu = ⇔ x1 = x2 = 0TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 7 / 56 Không gian Euclide Ví dụVí dụTrong R−kgv R2 hàm số sau không là một tíchvô hướng (x, y ) 7−→< x, y >= x1.y1 − 3x2.y2với x = (x1, x2), y = (y1, y2).Cho x = (1, 2). Khi đó< x, x >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0.Không thỏa mãn tiên đề 4.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56 Không gian Euclide Ví dụVí dụKhông gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trênđoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng< ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R Rb (f , g ) 7−→< f , g >= f (x)g (x)dx aTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56 Không gian Euclide Ví dụChứng minh. Rb Rb < f , g >= f (x)g (x)dx = g (x)f (x)dx = a a < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b] ...