Chương 7: Không gian Euclide

Chương 7: Không gian Euclide được biên soạn nhằm cung cấp cho các bạn những kiến thức về tích vô hướng và không gian Euclide; sự trực giao; cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn; khoảng cách trong không gian Euclide; ma trận biểu diễn của tích vô hướng;... Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 7: Không gian EuclideMuïc luïcChöông 7. KHOÂNG GIAN EUCLID 3 7.1. Tích voâ höôùng vaø khoâng gian Euclid . . . . . . . . 3 7.2. Söï tröïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3. Cô sôû tröïc giao vaø cô sôû tröïc chuaån. Quaù trình tröïc giao hoùa Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 12 7.4. Khoaûng caùch trong khoâng gian Euclid . . . . . . . 18 7.5. Ma traän bieåu dieãn cuûa tích voâ höôùng . . . . . . . . 19 7.6. Toaùn töû ñoái xöùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.7. Toaùn töû tröïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Baøi taäp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12Chöông 7KHOÂNG GIAN EUCLIDTrong chöông naøy ngoaïi tröø nhöõng tröôøng hôïp rieâng seõ ñöôïc noùi roõ,ta chæ xeùt caùc khoâng gian vectô treân tröôøng soá thöïc R.7.1. Tích voâ höôùng vaø khoâng gian Euclid Trong caùc chöông tröôùc chuùng ta ñaõ khaûo saùt caùc khoâng gianvectô toång quaùt. Tuy nhieân, khaùi nieäm khoâng gian vectô chöa môûroäng moät caùch ñaày ñuû caùc khoâng gian 2 hoaëc 3 chieàu cuûa hình hoïcgiaûi tích. Chaúng haïn, cho ñeán nay chuùng ta vaãn chöa ñeà caäp ñeán tíchvoâ höôùng, ñoä daøi vectô hay goùc giöõa hai vectô,... vaø vì vaäy chuùng tachöa phaùt trieån ñöôïc lyù thuyeát hình hoïc metric phong phuù ñaõ bieáttrong tröôøng hôïp 2 hoaëc 3 chieàu. Trong chöông naøy chuùng ta seõ boåsung cho nhöõng khieám khuyeát ñoù.Ñònh nghóa 7.1.1. Cho V laø khoâng gian vectô. AÙnh xaï h, i : V × V −→ R (x, y) 7−→ hx, yiñöôïc goïi laø moät tích voâ höôùng trong V neáu ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ R, 3ta coù (i) hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi; (ii) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi; (iii) hx, yi = hy, xi; (iv) hx, xi ≥ 0, trong ñoù hx, xi = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0.Ñònh nghóa 7.1.2. Ta goïi moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu vôùitích voâ höôùng laø moät khoâng gian Euclid. Sau ñaây laø moät soá ví duï veà caùc khoâng gian Euclid.Ví duï 7.1.3. Taäp hôïp taát caû caùc vectô töï do trong khoâng gian thöïc3 chieàu vôùi tích voâ höôùng quen thuoäc ñaõ ñöôïc ñònh nghóa trong caùcsaùch giaùo khoa veà toaùn sô caáp laø moät khoâng gian Euclid.Ví duï 7.1.4. Cho khoâng gian vectô V = Rn , vôùi x = (x1, . . . , xn ) vaøy = (y1 , . . ., yn ) ta ñònh nghóa hx, yi := x1 y1 + . . . + xn yn .Khi ñoù V laø khoâng gian Euclid. Tích voâ höôùng vöøa ñònh nghóa ñöôïcgoïi laø tích voâ höôùng chính taéc trong Rn .Ví duï 7.1.5. Vôùi x = (x1 , x2, x3), y = (y1 , y2, y3) ∈ R3 ñònh nghóa hx, yi := x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 . Deã daøng thaáy raèng caùc tính chaát (i)-(iii) trong Ñònh nghóa 7.1.1ñöôïc thoûa maõn. Hôn nöõa, nhöõng tính toaùn döôùi ñaây cho thaáy tínhchaát (iv) cuõng ñöôïc thoûa maõn. hx, xi = x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1x2 = x21 + 2x1x2 + x22 + x22 + 3x23 = (x1 + x2 )2 + x22 + 3x23 ≥ 0. Töø ñoù suy ra hx, xi = 0 ⇐⇒ x1 + x2 = x2 = x3 = 0 ⇐⇒ x1 =x2 = x3 = 0. 4Ví duï 7.1.6. Xeùt khoâng gian vectô M2 (R) goàm caùc ma traän vuoângcaáp 2 treân tröôøng soá thöïc R. AÙnh xaï hA, Bi := T r(A> B) laø moät tíchvoâ höôùng trong M2(R).Ví duï 7.1.7. Vôùi caùc ña thöùc P, Q ∈ R[x], ñònh nghóa Z 1 hP, Qi := P (x)Q(x)dx. 0 Hieån nhieân caùc tính chaát (i)-(iii) trong Ñònh nghóa 7.1.1 ñöôïc thoûamaõn. Ta se chöùRng toû tính chaát (iv) cuõng ñöôïc thoûa maõn. Thaät vaäy, 1ta coù hP, P i = 0 P (x)2dx ≥ 0. Giaû söû hP, P i = 0. Vì P (x) laø moät R1haøm lieân tuïc vaø P (x)2 ≥ 0 neân töø ñieàu kieän 0 P (x)2dx = 0 suyra P (x)|[0,1] = 0. Do ña thöùc P (x) chæ coù theå coù moät soá höõu haïnnghieäm neân töø ñoù suy ra P (x) ≡ 0.Ví duï 7.1.8. Cho W laø moät khoâng gian con cuûa khoâng gian veùc tôV . Giaû söû trong V coù tích voâ höôùng h, iV . Vôùi moïi x, y ∈ W , ñònhnghóa hx, yiW := hx, yiV . Deãõ thaáy ñaây laø moät tích voâ höôùng trong W .Ñònh nghóa 7.1.9. Xeùt khoâng gian Euclid p V . Ta noùi chuaån hay p ñoä daøicuûa vectô u, kyù hieäu ||u||, laø soá thöïc hu, ui, nghóa laø ||u|| = hu, ui.Neáu moät vectô coù ñoä daøi baèng 1 thì ta seõ noùi noù laø moät vectô ñôn vò. Töø ñònh nghóa tích voâ höôùng ta thaáy ngay raèng chuaån cuûa moätvectô luoân laø moät soá thöïc khoâng aâm. Hôn nöõa, chæ coù vectô khoâng laøcoù chuaån baèng 0.Ví duï 7.1.10. (a) Trong khoâng gian Euclid ôû Ví du ...