Bài giảng môn Đại số A2: Chương 3 - Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương

Bài giảng môn Đại số A2: Chương 3 - Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương được biên soạn nhằm trang bị cho các bạn những kiến thức về khái niệm về dạng song tuyến tính, dạng toàn phương; dạng chính tắc của dạng toàn phương; dạng chính tắc trực giao của dạng toàn phương trên không gian Euclide và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn Đại số A2: Chương 3 - Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương BAØI GIAÛNG MOÂN ÑAÏI SOÁ A2 (GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009)CHÖÔNG 3 DAÏNG SONG TUYEÁN TÍNH DAÏNG TOAØN PHÖÔNGTrong chöông naøy kyù hieäu K ñeå chæ tröôøng soá thuïc R hay tröôøng soá phöùc C.§1. KHAÙI NIEÄM VEÀ DAÏNG SONG TUYEÁN TÍNH VAØ DAÏNG TOAØN PHÖÔNG1.1. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian veùctô treân K. Moät daïng song tuyeántính treân V laø moät aùnh xaï f: V × V → K (u, v) 6 f (u, v)coù tính chaát tuyeán tính theo töøng bieán u, v, nghóa laø vôùi moïi u, u1, u2, v, v1, v2 ∈ Vvaø α, β ∈ K ta coù 1) f(αu1 + u2,v) = αf(u1,v) + f(u2,v); 2) f(u,βv1 + v2) = βf(u,v1) + f(u,v2).Daïng song tuyeán tính f ñöôïc goïi laø ñoái xöùng neáu f(u,v) = f(v,u) vôùi moïi u, v ∈V.1.2. Ví duï. 1) Vôùi moãi u = (x1,...,xn), v = (y1,...,yn) ∈ \ n , ñaët f(u,v) = x1y1 + ...+ xnynKhi ñoù f laø moät daïng song tuyeán tính treân \ n.2) Moät tích voâ höôùng treân khoâng gian Euclide V laø moät daïng song tuyeán tínhtreân V. 11.3. Ma traän cuûa daïng song tuyeán tínhGiaû söû B = (u1, … , un) laø moät cô sôû cuûa V treân K. Ma traän cuûa daïng song tuyeántính f trong cô sôû B, kyù hieäu [f]B, laø ma traän A = (aij)n×n, trong ñoù aij = f(ui,uj) vôùimoïi 1 ≤ i, j ≤ n. Vôùi moïi u = x1u1+ ...+ xnun , v = y1u1+ ...+ ynun thuoäc V ta coù n n n n n n f (u, v) = f (∑ x iu i , ∑ y ju j ) = ∑ ∑ f (ui , u j )x i y j = ∑ ∑ aijx i y j (1) i =1 j=1 i =1 j=1 i =1 j=1Ñaûo laïi, (1) xaùc ñònh daïng song tuyeán tính f treân V coù ma traän trong cô sôû B laø A= (aij)n×n. Chuù yù raèng (1) coøn ñöôïc vieát döôùi daïng ⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎛ y1 ⎞ f (u, v) = ( x1... x n ) ⎜⎜ ... ... ... ⎟⎟ ⎜⎜ ... ⎟⎟ = [u]TB [f ]B [v]B . ⎜a ⎟⎜ ⎟ ⎝ n1 ... a nn ⎠ ⎝ y n ⎠Vaäy ∀u, v ∈ V, f (u, v) = [u]TB [f ]B [v]B (1′)Ta goïi (1) vaø (1′) laø bieåu thöùc toaï ñoä cuûa daïng song tuyeán tính f trong cô sôû B.1.4. Nhaän xeùt. 1) Vôùi cô sôû B = (u1, … , un) cho tröôùc, daïng song tuyeán tính f ñöôïchoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ma traän [f]B.2) Daïng song tuyeán tính f treân V laø ñoái xöùng khi vaø chæ khi [f]B laø ma traän ñoáixöùng.1.5. Daïng song tuyeán tính treân KnXeùt V = Kn vôùi cô sôû chính taéc B0 = (e1, … , en). Ñaët A = [f ]B = (aij)n×n. Khi ñoù vôùi 0 nmoïi u = (x1, ...,xn), v = (y1, ...,yn) thuoäc K ta coù n n f (u, v) = ∑ ∑ aijx i y j (2) i =1 j=1Ñaûo laïi, (2) xaùc ñònh daïng song tuyeán tính f treân Kn coù ma traän trong cô sôû chínhtaéc laø A = (aij)n×n. Ñeå ñôn giaûn, trong tröôøng hôïp naøy ta goïi A laø ma traän cuûa f vaø(2) laø bieåu thöùc cuûa f. 31.6. Ví duï. Xeùt daïng song tuyeán tính f treân \ ñònh bôûi: Vôùi moïi u = (x1,x2,x3),v = (y1,y2,y3), f (u, v) = x1 y1 + 2x1 y 2 − 4x1y 3 + x 2 y1 − x 2 y 2 + 3x 2 y 3 + x 3 y1 + 9x 3 y 2 .Ma traän cuûa f laø 2 ⎛ 1 2 −4 ⎞ A = ⎜⎜ 1 −1 3 ⎟⎟ . ⎜1 9 0 ⎟⎠ ⎝1.7. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian veùctô höõu haïn chieàu treân K vaø f laømoät daïng song tuyeán tính ñoái xöùng treân V. Khi ñoù aùnh xaï Q: V → K u 6 f (u, u)ñöôïc goïi laø daïng toaøn phöông treân V öùng vôùi daïng song tuyeán tính ñoái xöùng f. Tacuõng noùi f laø daïng cöïc cuûa daïng toaøn phöông Q. Ñeå ñôn giaûn, ta goïi moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc (t.ö.phöùc) laø moät daïng toaøn phöông thöïc (t.ö. phöùc). Moät daïng toaøn phöông treân Kn (t.ö. Rn, Cn) coøn ñöôïc goïi laø moät daïng toaønphöông n bieán treân K (t.ö. n bieán thöïc, n bieán phöùc). Daïng cöïc f cuûa daïng toaøn phöông Q ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi Q. Thaätvaäy, f(u+v,u+v) = f(u,u) + f(u,v) + f(v,u) + f(v,v) = f(u,u) + 2f(u,v) + f(v,v).Suy ra 1 f (u, v) = [Q(u + v) − Q(u) − Q(v)] . 21.8. Bieåu thöùc vaø Ma traän cuûa daïng toaøn phöông Giaû söû Q laø moät daïng toaøn phöông treân V öùng vôùi daïng song tuyeán tính ñoáixöùng f. Vôùi B laø moät cô sôû baát kyø cuûa V, ma traän [f]B cuõng ñöôïc goïi laø ma traäncuûa daïng toaøn phöông Q trong cô sôû B, kyù hieäu laø [Q]B. Nhaän xeùt raèng vì f ñoái xöùng neân ma traän cuûa daïng toaøn phöông Q trongmoät cô sôû baát kyø luoân luoân laø moät ma traän ñoái xöùng. Do 1.3, vôùi B = (u1, … , un) laømoät cô sôû cuûa V vaø u = x1u1+ ...+ xnun thuoäc V ta coù n n Q(u) = [u]TB [Q]B [u]B = ∑ ∑ aijx i y j (3) ...