Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng hình học của tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Tích phânCHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN1. Tích phân bất định2. Tích phân xác định3. Tích phân suy rộng4. Ứng dụng hình học của tích phân Tích phân bất địnhNguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm củahàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc(a,b) ta đều có F’(x) = f(x)Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra:1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm f(x)2. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+CĐịnh lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục ∀x (a, b)và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có nguyênhàm trên [a,b] Tích phân bất địnhĐịnh nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là mộtnguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số)được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu f ( x)dx = F ( x) + CTính chất: f ( x)dx = f ( x) + Cd f ( x)dx = f ( x)dxa. f ( x)dx = a.�� f ( x)dx[ f ( x) + g ( x)] dx = �f ( x)dx + �� g ( x )dx Tích phân bất địnhBảng tích phân các hàm cơ bản α +1 1 α x dx = tan x + C x dx = + C , α −1 2 α +1 cos x 1 1 dx = ln x + C 2 dx = − cot x + c x sin x a x 1 1 x x a dx = +C 2 2 dx = arctan + C ln a a +x a a sin xdx = − cos x + C 1 1 x+a 2 2 dx = ln +C cos xdx = sin x + c a −x 2a x − a dx x dx �x π � = ln tan + C = ln tan � + �+ C sin x 2 cos x �2 4 � Tích phân bất địnhBảng tích phân các hàm cơ bản 1 x dx = arcsin + c a2 − x2 a 1 dx = ln x + x 2 a2 + C x2 a2 2 2 2 a x x a − x a 2 − x 2 dx = arcsin + +C 2 a 2 dx = thx + C shxdx = chx + C 2 ch x chxdx = chx + C dx 2 = −cthx + C sh x Tích phân bất địnhPhương pháp đổi biến:Định lý: Nếu f ( x)dx = F ( x) + C Thì: f (ϕ (t ))ϕ (t ) dt = F (ϕ (t )) + C Với φ(t) là hàm khả viTa kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải:( F (ϕ (t )) + C ) = F (ϕ (t )).ϕ (t ) = f (ϕ (t )).ϕ (t )Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là địnhlý được chứng minhĐịnh lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặpsau đây Tích phân bất địnhPhương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàmkhả vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có �f ( x)dx = �f (ϕ (t ))ϕ (t )dt Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì f ( x)dx = G (t ) + C = G (ϕ −1 ( x)) + CVí dụ: Tính tích phân I1 = 1 − x 2 dx dx = cos tdt t = arcsin xĐặt x = sint thì 2 và 1 − x = cos t sin2t = 2 x 1 − x 2I1 = cos 2 tdt 1 + cos 2t 1 1 arcsin x x 1 − x 2 = dt = t + sin2t + C = + +C 2 2 4 2 4 Tích phân bất địnhPhương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx vàgiả sử �f ( x)dx = �g (ϕ ( x ))ϕ ( x)dx với g ( x)dx = G ( x) + CThì f ( x)dx = G (ϕ ( x)) + C dxVí dụ: Tính I 2 = x2 + a2 x 1Đặt u = � du = dx � dx = adu a a 1 adu 1 1 xI2 = 2 2 = arctan u + C = arctan + C a u +1 a a a Tích phân bất định Ví dụ: Tính I 3 = e x 4 + e x dx x x 2 x 2udu Đặt u = 4 + e � e = u − 4 � e dx = 2udu � dx = 2 u −4 2 2udu 2 3 2 I 3 = (u − 4)u 2 2 = 2u du = u + C = (e x + 4)3 + C u −4 3 3 dx Ví dụ: Tính I 4 = x 2 +1 2 x dx � 1 1 �x I4 = x x = �x − x 2 dx = dx − J ...