Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 9 tiếp tục trang bị cho người học những kiến thức về phương trình vi phân cấp hai. Trong bài này các bán sẽ tìm hiểu những nội dung sau đây: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Mời các bạn tham khảo.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 9 §3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)• Đặt vấn đề. Mô hình toán học của hệ cơ học và mạch điện dẫn đến phương trình vi d 2x dx 1phân cấp hai m 2 +c + kx = 0 ; LI ′′ + RI ′ + I = E ′(t ) dt dt Ck là hệ số co dãn của lò xo; c là hệ số giảm xóc; m là khối lượng vật thể3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp haia) Định nghĩa. y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f ( x ) (1)b) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = 0 (2)Định lí 1. y1, y 2 là các nghiệm của (2) ⇒ c1y1 + c2 y 2 cũng là nghiệm của (2),∀ c1, c2 ∈ » y2( x )• Định nghĩa. Các hàm y1( x ), y 2 ( x ) là độc lập tuyến tính trên [ a ; b ] ⇔ ≠ hằng y1( x )số trên [ a ; b ] . Trong trường hợp ngược lại ta nói các hàm này phụ thuộc tuyến tính.Ví dụ 1. a) e x , e2 x b) x 2 + 2 x + 1, x + 1 c) tan x, 2 tan xĐịnh nghĩa. Cho các hàm y1( x ), y 2 ( x ) , khi đó định thức Wronsky của các hàm này là y1 y 2 W ( y1, y 2 ) = y1′ y 2′Định lí 2. Các hàm y1, y 2 phụ thuộc tuyến tính trên [ a ; b ] ⇒ W ( y1, y 2 ) = 0 trên đoạn đóChú ý. Nếu W ( y1, y 2 ) ≠ 0 tại x0 nào đó thuộc [ a ; b ] ⇒ độc lập tuyến tínhĐịnh lí 3. Cho y1, y 2 là các nghiệm của (2), W ( y1, y 2 ) ≠ 0 tại x0 ∈ [ a ; b ] , các hàmp( x ), q( x ) liên tục trên [ a ; b ] ⇒ W ( y1, y 2 ) ≠ 0, ∀ x ∈ [ a ; b ]Định lí 4. Các nghiệm y1, y 2 của (2) độc lập tuyến tính trên [ a ; b ]⇒ W ( y1, y 2 ) ≠ 0, ∀ x ∈ [ a ; b ]Định lí 5. Cho y1, y 2 là các nghiệm độc lập tuyến tính ⇒ nghiệm tổng quát của (2) là y = c1y1 + c2 y 2 .Ví dụ 2. y ′′ + y = 0Định lí 6. Biết nghiệm riêng y1 ≠ 0 của (2) ⇒ tìm được nghiệm riêng y 2 của (2) độc lậptuyến tính với y1 và có dạng y 2 ( x ) = y1( x )u( x )Hệ quả. Với giả thiết của định lí 6, nghiệm y 2 tìm được theo công thức sau 1 − ∫ p( x )dx y 2 = y1 ∫ y12 e dx (Liouville). PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vnVí dụ 3. a) y ′′ − y ′ = 0 ∫e ∫ − ( −1)dx+) Dễ thấy y1 = 1 là nghiệm +) y 2 = dx = e x +) y = C1 + C2e xb) x 2 y ′′ − xy ′ − y = 0 1 1 − ∫ dx 1 1+) y1 = x là nghiệm +) y 2 = x ∫ x2 e x dx = x x3 dx = −2 x ∫ C2+) y = C1x + xc) (2 x + 1)y ′′ + 4 xy ′ − 4 y = 0 ( y = C1x + C2e −2 x )d) xy ′′ − (2 x + 1)y ′ + ( x + 1)y = 0 ( y = C1e x + C2 x 2e x )e) y ′′ − 2(1 + tan2 x )y = 0 ( y = C1 tan x + C2 (1 + x tan x ) )c) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f ( x ) (1)Định lí 1. Nghiệm tổng quát của (1) có dạng y = y + Y , ở đó y là nghiệm tổng quátcủa (2), Y là nghiệm riêng của (1).Định lí 2. (Nguyên lí chồng nghiệm)Nếu y1 là nghiệm của phương trình y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f1( x ).y 2 là nghiệm của phương trình y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f2 ( x ).Thì có y = y1 + y 2 là nghiệm của phương trình y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f1( x ) + f2 ( x ).Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange• Biết nghiệm tổng quát của (2) là y = c1y1 + c2 y 2  c1′ y1 + c2′ y 2 = 0• Giải hệ sau  có c1 = φ1( x ) + k1, c2 = φ2 ( x ) + k2 c ′  1 1 y ′ + c ′ y 2 2 ′ = f ( x )• Nghiệm tổng quát của (1) là y = y1(φ1( x ) + k1) + y 2 (φ2 ( x ) + k 2 ) 2−x xVí dụ 4. a 1) y ′′ − y ′ = e ...