Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ - Huỳnh Quang Vũ

Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ nhằm giúp người học có hiểu biết về tích phân hàm nhiều biến và các mối quan hệ giữa vi phân và tích phân của hàm nhiều biến, được coi là kiến thức căn bản trình độ đại học các ngành khoa học kỹ thuật. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ - Huỳnh Quang Vũ TÍCH PHÂN BỘI và Bài giảng GIẢI TÍCH VECTƠ ZZ Huỳnh Quang Vũ Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 12 tháng 8 năm 2022 ii Tóm tắt nội dung Đây là tập bài giảng này về tích phân Riemann của hàm nhiều biến và Giải tích vectơ cho sinh viên ngành toán ở Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Môn này tiếp nối các môn học Vi tích phân 1 và Vi tích phân 2, nhằm giúp người học có hiểu biết về tích phân hàm nhiều biến và các mối quan hệ giữa vi phân và tích phân của hàm nhiều biến, được coi là kiến thức căn bản trình độ đại học các ngành khoa học kỹ thuật. Chuẩn đầu ra tối thiểu là trình độ dành cho sinh viên khoa học kỹ thuật như trong [Ste12]. Trình độ trung bình hướng tới nâng cao hơn, phù hợp hơn với ngành toán, có yêu cầu cao hơn về tính chính xác và hàm lượng lí thuyết. Đối với sinh viên khá giỏi bài giảng hướng tới trình độ ở các phần tương ứng trong các giáo trình giải tích như [Rud76], [Lan97]. Bài giảng có giới thiệu công cụ máy tính. Phần bài tập có cả lí luận và tính toán. Bài giảng hướng tới giúp sinh viên ngành toán thấy được nhu cầu phát triển tổng quát hóa và chính xác hóa, qua đó giúp giải quyết những vấn đề ứng dụng mới. Môn học bổ ích cho việc ứng dụng mô hình toán học như trong cơ học, xác suất - thống kê, phương trình toán - lý, giải tích, . . . , và các phát triển toán học trong giải tích, hình học, . . . . Dấu ✓ ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng, nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc. Có thể giáo trình này vẫn còn được đọc lại sau khi môn học kết thúc, khi đó những phần * này sẽ thể hiện rõ hơn ý nghĩa. Hướng dẫn sơ khởi để làm một số bài tập cần dùng phần mềm máy tính có ở https://sites.google.com/view/hqvu/teaching. Bản mới nhất của tài liệu này, cùng mã nguồn, có ở https://sites.google.com/view/hqvu/teaching. Tài liệu này dùng bản quyền Public Domain (CC0) http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, nếu áp dụng được, nếu không thì dùng bản quyền Creative Commons At- tribution 4.0 International License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/. Huỳnh Quang Vũ Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn, web: https://sites.google.com/view/hqvu/. Mục lục I Tích phân bội 3 1 Tích phân trên hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Sự khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Tích phân trên tập tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Công thức Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7 * Thay thế tích phân Riemann bằng tích phân Lebesgue . . . . 76 II Giải tích vectơ 79 8 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9 Công thức Newton–Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11 Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 13 Công thức Gauss–Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 14 Vài ứng dụng của Giải tích vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 15 * Công thức Stokes tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Gợi ý cho một số bài tập 161 Tài liệu tham khảo 163 Chỉ mục 165 1 2 MỤC LỤC Phần I Tích phân bội 3 5 Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiều chiều. Một phần của lý thuyết tích phân cho ta một lý thuyết về diện tích và thể tích. Ý niệm chiều dài, diện tích, thể tích để đo kích thước của vật đã có từ hàng nghìn năm trước. Trong chương trình toán phổ thông [SGKPT] chiều dài xuất hiện từ lớp 1, diện tích từ lớp 3, và thể tích từ lớp 5. Các khái niệm này, mà ta gọi chung là thể tích, trong Hình học Euclid không được định nghĩa mà được thừa nhận là tồn tại thỏa những tính chất được tổng kết từ nhu cầu đo lường trong cuộc sống: (a) thể tích của một hình là một số thực không âm, (b) thể tích của hội của hai hình rời nhau thì bằng tổng thể tích của hai ...