Bài giảng Tích phân mặt loại 2

Bài giảng Tích phân mặt loại 2 bao gồm những nội dung về pháp tuyến của mặt cong; mặt định hướng; định nghĩa tích phân mặt loại 2; định lý Gauss - Ostrogratxki; công thức Stokes. Mời các bạn tham khảo bài giảng để bổ sung thêm kiến thức về lĩnh vực này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tích phân mặt loại 2TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG.Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) S •L là đường cong trong S đi r qua M. Tiếp tuyến của L tại M n gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp diện của S tại M. •Pháp tuyến của mặt tiếp diện tại M gọi là pháp tuyến của S tại M. PHÁP TUYẾN MẶT CONGGiả sử L S có pt: x = x(t), y = y(t), z =z(t)M = (x(t0), y(t0), z(t0)) LVt chỉ r phương của tiếp tuyến tại M là : u = ( x (t 0 ), y ( y 0 ), z (t 0 ) ) M S: F(x,y,z) = 0, ta có: Fx (M ) x (t 0 ) + Fy (M ) y (t 0 ) + Fz (M )z (t 0 ) = 0 ( x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) ) ( Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ) ) ( x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) ) ( Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ) )(đúng với mọi đường cong trong S và qua M)rn = ( Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ) ) và các vector tỷ lệ là pháp vector của S tại MMột ký hiệu khác: gradF (M ) = ( Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ) ) (gradient của F tại M) Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2 2a/ Mặt cầu S : x + y + z = R uuuuur M ( x0 , y 0 , z0 ) S , n (M ) = ( 2 x0 ,2y 0 ,2z0 ) (và các vector tỷ lệ) ur n ur n uuur OM ( x0 , y 0 , z0 ) Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2a/ Mặt trụ S : x + y = R uuuuur M ( x0 , y 0 , z0 ) S , n (M ) = ( 2 x0 ,2 y 0 ,0 ) (và các vector tỷ lệ) M ur n uuuur OM = ( x0 , y 0 , 0) Một số ví dụ tìm pháp vector 2 2 2a/ Mặt nón S : x + y = z � z = � x 2 + y 2 uuuuur M ( x0 , y 0 , z0 ) S , n (M ) = ( 2 x0 , 2y 0 , −2z0 ) uuuuur n (M ) z0 M ( x0 , y 0 , z0 ) M = ( x0 , y 0 ,0)−z0 ( x0 , y 0 , −z0 ) MẶT ĐỊNH HƯỚNGS được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếucho pháp vector tại M S di chuyển dọc theo 1đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểmxuất phát vẫn không đổi chiều.Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọilà mặt không định hướng (mặt 1 phía ).Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vectorhướng từ chân lên đầu. (Chương trình chỉ xét mặt 2 phía)Mặt một phíaMặt hai phíaVí dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong 2 2 2 2a/ Mặt cầu S : x + y + z = R M ( x0 , y 0 , z0 ) S , ur n = ( x0 , y 0 , z0 ) ur pháp VT ngoài n ur uuur n = −( x0 , y 0 , z0 ) OM ( x0 , y 0 , z0 ) pháp VT trong 2 2 2b/ Mặt trụ S : x + y = R uuuuur M ( x0 , y 0 , z0 ) S , n (M ) = ( 2 x0 ,2y 0 ,0 )PVT trong M ur n = ( x0 , y 0 ,0) PVT ngoàic/ Mặt nón M ( x0 , y 0 , z0 ) S , z0 PVT trong ur n = ( x0 , y 0 , −z0 ) PVT ngoài −z0 Pháp vector đơn vị z ur n γ α β yx r n = (cos α ,cos β ,cos γ ) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt địnhhướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là r n = (cos α ,cos β ,cos γ )Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S địnhnghĩa bởi r��S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = � � S (P ,Q, R ).nds��S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy= � � S (P cos α + Q cos β + R cos γ )ds VÍ DỤ1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 2 z = R − x − y , tính I= � � S xdydz + ydzdx + zdxdy Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là ur ( x , y , z ) n= R r ( x , y , z)I=��(P ,Q, R ).nds = ��( x , y , z ). ds S S R 2 2 2 2 x +y +z R = � � S R ds = � � R ds = R � � ds S S 3 = 2π R ...