Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Biến đổi Laplace - TS. Đặng Quang Hiếu

Bài giảng này cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về biến đổi Laplace. Những nội dung cơ bản được trình bày trong bài gồm có: Giới thiệu về biến đổi Laplace, liên hệ với biến đổi Fourier, điểm cực và điểm không, các tính chất của ROC, biến đổi Laplace ngược, hàm truyền đạt H(s) của hệ thống LTI,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Biến đổi Laplace - TS. Đặng Quang Hiếu ET 2060 Biến đổi Laplace TS. Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org om Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông .c 2011-2012 ng co an thGiới thiệu về biến đổi Laplace g on du Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t) và đầu vào x(t) = e st , ta có: u y (t) = H(s)e st cu trong đó Z ∞ H(s) = h(t)e −st dt −∞ ◮ Có thể coi biến đổi Fourier là trường hợp riêng của biến đổi Laplace (với s = jΩ). ◮ Phân tích hệ thống LTI, đặc biệt là tính ổn định. ◮ Ứng dụng trong lý thuyết mạch, lý thuyết điều khiển, v.v. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttĐịnh nghĩa L t s L−1 Biến đổi Laplace L x(t) ←− −→ X (s) om trong đó s là biến số phức: s = σ + jΩ. Z ∞ .c X (s) , x(t)e −st dt −∞ ng Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace của x(t) = e at u(t) co an thLiên hệ với biến đổi Fourier g on ◮ Biến đổi Fourier là biến đổi Laplace xét trên trục ảo s = jΩ. du X (jΩ) = X (s)|s=jΩ u cu ◮ Biến đổi Laplace là biến đổi Fourier của x(t)e −σt Z ∞ X (s) = x(t)e −(σ+jΩ)t dt = FT{x(t)e −σt } −∞ ◮ Miền hội tụ (ROC) là những giá trị của s trên mặt phẳng phức sao cho X (s) < ∞ (tức là tồn tại biến đổi Fourier của x(t)e −σt ). Điều kiện hội tụ: Z ∞ |x(t)e −σt |dt < ∞ −∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttVí dụ Tìm biến đổi Laplace và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau: (a) x(t) = δ(t) (b) x(t) = −e at u(−t) (c) x(t) = e 2t u(t) + e 3t u(−t) (d) x(t) = cos(Ω0 t)u(t) om .c ng co an thĐiểm cực và điểm không g on du ◮ Điểm cực: s = spk nếu X (spk ) = ∞. ◮ Điểm không: s = s0k nếu X (s0r ) = 0. u ◮ cu Nếu X (s) biểu diễn bởi một hàm hữu tỉ: N(s) X (s) = D(s) thì spk là nghiệm của đa thức D(s) và s0r là nghiệm của đa thức N(s). Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace và vẽ các điểm cực, điểm không x(t) = δ(t) − 3e −2t u(t) + 2e t u(t) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttCác tính chất của ROC (i) ROC chứa các dải song song với trục ảo trên mặt phẳng s. (ii) ROC không chứa các điểm cực R∞ (iii) Nếu x(t) có chiều dài hữu hạn và −∞ |x(t)|dt < ∞ thì ROC sẽ là cả mặt phẳng phức. (iv) Nếu x(t) là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ...