Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 6 (Lecture 10) - Trần Quang Việt

Chương 6 cung cấp kiến thức về phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace. Bài này tập trung vào biến đổi Laplace với các nội dung chính sau: Biến đổi Laplace thuận, biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng, các tính chất của biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược. Mời tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 6 (Lecture 10) - Trần Quang Việt Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace Lecture-10 6.1. Biến đổi Laplace Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1. Biến đổi Laplace 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận 6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các thành phần tần số  phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn trong miền tần số.
Biến đổi Fourier là công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …)
Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT với đáp ứng xung h(t) phải ổn định. ∞ ∞ ∫−∞ | f (t ) | dt < ∞ & ∫−∞ | h(t ) | dt < ∞
Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ thống không ổn định  dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát của biến đổi Fourier) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian  tạo hàm mới φ(t) từ f(t) sao cho tồn tại biến đổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R
Biến đổi Fourier của φ(t) như sau: ∞ ∞ Φ (ω ) = F [φ (t )] = ∫ f (t )e −σ t e − jωt dt = ∫ f (t )e − (σ + jω )t dt −∞ −∞ ∞ Đặt s=σ+jω: Φ (ω ) = ∫ −∞ f (t )e − st dt F(s)=Φ(ω) ∞ Hay: F(s)= ∫ f(t)e − st dt (Biến đổi Laplace thuận) −∞ Ký hiệu: F ( s) = L[ f (t )] f (t ) φ (t ) = f (t )e −σ t t t Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace: tập hợp các biến s trong mặt phẳng phức có σ=Re{s} làm cho φ(t) tồn tại biến đổi Fourier Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau: (a ) f (t ) = e − at u (t ); a > 0 (b) f (t ) = e− at u (−t ); a > 0 (c) f (t ) = u (t ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng (a) f(t)=δ(t) ⇒ F ( s ) = 1; ROC: s-plane 1 (b) f(t)=e-at u(t); a>0 ⇒ F ( s ) = ; ROC : Re{s} > −a s+a 1 (c) f(t)=-e-at u(-t); a>0 ⇒ F ( s ) = ; ROC : Re{s} < −a s+a 1 (d) f(t)=u(t) ⇒ F ( s ) = ; ROC : Re{s} > 0 s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
Tính chất tuyến tính: f1 (t ) ↔ F1 ( s ) f 2 (t ) ↔ F2 ( s ) ⇒ a1 f1(t) + a2 f2 (t) ↔ a1F1(s) + a2 F2 (s) 2 1 Ex : 2e− t u (t ) + e−2t u (t ) ↔ + ; ROC : Re{s} > −1 s +1 s + 2
Dịch chuyển trong miền thời gian: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ f (t − t0 ) ↔ F(s)e−st0 t −4 1 −3 s −5 s Ex : rect   = u (t − 3) − u (t − 5) ↔ ( e − e )  2  s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
Dịch chuyển trong miền tần số: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ f (t)es0t ↔ F(s − s0 ) s s+a Ex : cos ( bt ) u (t ) ↔ 2 2 ⇒e − at cos ( bt ) u (t ) ↔ s +b (s + a)2 + b 2
Đạo hàm trong miền thời gian: f (t ) ↔ F ( s ) d n f (t ) ⇒ n ↔ s n F ( s ) − s n −1 f (0 − ) − s n − 2 f (1) (0 − ) − ... − f ( n −1) (0 − ) dt δ (t ) ↔ 1 ⇒ δ (1) (t ) ↔ s ⇒ δ ( n ) (t ) ↔ s n t −4 d 2 f (t ) f (t ) = rect   ⇒ ↔?  2  dt 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
Tích phân miền thời gian: t F(s) f (t ) ↔ F ( ...