Bài giảng Toán C1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Bài giảng Toán C1 - Chương 2 trang bị cho người học những kiến thức về vi phân hàm hai biến. Nội dung chính trong chương này gồm có: Hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng - Gradient, tính khả vi - vi phân, cực trị địa phương. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán C1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 2 VI PHÂN HÀM HAI BIẾN Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán C1 - MS: C01009Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 1 / 32 Nội dung 1 Hàm nhiều biến 2 Giới hạn và liên tục 3 Đạo hàm riêng - Gradient 4 Tính khả vi - Vi phân 5 Cực trị địa phươngHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 1 / 32 Hàm hai biến Định nghĩa Một hàm hai biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi cặp có thứ tự các số thực (x, y ) trong tập D ⊂ R2 với duy nhất một số thực được ký hiệu là f (x, y ). Tập D gọi là tập xác định của f . Miền giá trị của f là tập: V = {f (x, y )|(x, y ) ∈ D}Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 2 / 32 Ví dụHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 3 / 32 Đồ thị Định nghĩa Nếu f là hàm hai biến xác định trên miền D thì đồ thị của f được định nghĩa là tập hợp các điểm (x, y , z) trong R3 sao cho z = f (x, y ) và (x, y ) ∈ DHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 4 / 32Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 5 / 32 Hàm nhiều biến Một hàm ba biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi bộ ba (x, y , z) trong miền D ⊂ R3 với duy nhất một số thực, ký hiệu là f (x, y , z) Ví dụ: f (x, y , z) = ln(z − y ) + xy sin z Một hàm n biến là một quy tắc cho tương ứng mỗi bộ n số thực (x1 , x2 , . . . , xn ) với duy nhất một số thực, ký hiệu là f (x1 , x2 , . . . , xn ) Thỉnh thoảng ta ký hiệu x = (x1 , x2 , . . . , xn ) và ký hiệu f (x) thay cho f (x1 , x2 , . . . , xn )Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 6 / 32 Giới hạn hàm hai biến Điểm (a, b) gọi là điểm tụ của D nếu mọi đĩa tròn tâm (a, b) đều có chung với D ít nhất là một điểm khác (a, b) Định nghĩa Cho f là hàm hai biến với tập xác định D, và (a, b) là điểm tụ của D. Ta nói giới hạn của f (x, y ) khi (x, y ) tiến về (a, b) là L nếu với mọi ε > 0 đều có tương ứng một số δ > 0 sao cho: p Nếu (x, y ) ∈ D và 0 < (x − a)2 + (y − b)2 < δ thì |f (x, y ) − L| < ε Ký hiệu: lim f (x, y ) = L hoặc lim x→a f (x, y ) = L (x,y )→(a,b) y →bHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 7 / 32 Chú ý: |f (x, y ) − L| là khoảng cách từ số f (x, y ) tới số L p (x − a)2 + (y − b)2 là khoảng cách từ điểm (x, y ) tới điểm (a, b)Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 8 / 32 Dãy điểm (xn , yn ) gọi là hội tụ về (a, b) nếu xn → a và yn → b. Lúc đó ký hiệu: (xn , yn ) → (a, b) Định lý lim f (x, y ) = L khi và chỉ khi với mọi dãy (xn , yn ) (x,y )→(a,b) hội tụ về (a, b) ta luôn có f (xn , yn ) → LHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 9 / 32 Ví dụ xy Xét hàm f (x, y ) = x2 + y2 Trên đường y = 0 thì f (x, 0) = 0. Trên đường x = y thì f (x, x) = 1/2. Hàm số không có giới hạn khi (x, y ) → (0, 0)Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 10 / 32 Sự liên tục của hàm hai biến Định nghĩa Hàm hai biến f được nói là liên tục tại điểm (a, b) nếu lim f (x, y ) = f (a, b) (x,y )→(a,b) f được nói là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi (a, b) thuộc D Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm số   3x 2 y , (x, y ) 6= (0, 0) f (x, y ) = x2 + y2 0, (x, y ) = (0, 0) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 11 / 32 Giới hạn và liên tục của hàm ba biến Định nghĩa Hàm ba biến f được nói là có giới hạn bằng L khi (x, y , z) tiến về (a, b, c) nếu: Với mọi số ε > 0 cho trước, tồn tại tương ứng một δ > 0 sao cho: Nếup(x, y , z) thuộc tập xác định của f và 0 < (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < δ thì ...